Mathematiques- Bac Marocain

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Analyse
Calcul intégral Dérivation et étude de fonctions Fonctions exponentielles Fonctions logarithmes Limites et Continuité Suites numériques

Exercice Su1

Soit $(u_n)_{n\in\Bbb N}$, la suite numérique, définie par: $$u_n=\dfrac{\cos(3n)}{\sqrt n}$$ Vérifer que: $~~(\forall n\in\Bbb N), ~~|u_n| En déduire la limite de la suite $(u_n)_{n\in\Bbb N}...

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Exercice Su2

Calculer la limite de chacune des suites suivantes : \( a_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n \sin(n) \) \( b_n = \frac{n - \sin n}{n + \sin n} \) \( c_n = n + 1 - \sin(2n) \) \( d_...

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Exercice Su3

On considère la suite \((u_n)_{n \geq 1}\) définie par : \[ u_n = \frac{n}{n^2 + 1} + \frac{n}{n^2 + 2} + \dots + \frac{n}{n^2 + n} \] Montrer que : \( (\forall n \in \mathbb{N}^*) \quad...

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Exercice Su4

EXERCICE 08 On considère la suite $(u_n)$ définie par : \[ u_0 = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \frac{2u_n + 1}{u_n + 1} \] Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{...

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Exercice Su5

Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : \[ u_0 = 2 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \frac{1}{2}(1 + u_n)^2 \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N} \] Montrer que la suite $(u_n)$ est...

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Exercice Su6

On considère la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : \[ u_n = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{n^3} \] Montrer que la suite $(u_n)_{n \ge 1}...

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Exercice Su7

Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : \[ u_0 = 1 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \sqrt[3]{3u_n + 1} - 1 \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N} \] Montrer que pour tout $n \in \ma...

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Exercice Su8

Soit $(u_n)_{n \geq 1}$ la suite numérique définie par : \[ u_n = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} \] Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $u_...

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Exercice Su9

Soit $(u_n)_{n \geq 1}$ la suite numérique définie par : \[ u_n = 1 + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{k^2} + \dots + \frac{1}{n^2} \] Étudier la monotonie de la suite $(u_n)_{n \geq 1}$. ...

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Exercice Su10

Montrer que pour tout $x \in ]0, +\infty[$ : \[ \text{Arctan}\left( \frac{1}{1+x+x^2} \right) = \text{Arctan}\left( \frac{1}{x} \right) - \text{Arctan}\left( \frac{1}{1+x} \right) \] P...

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Exercice Su11

On considère les suites $(u_n)_{n \geq 1}$ et $(v_n)_{n \geq 1}$ définies par : \[ u_n = 1 + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{n^2} \qquad \text{et} \qquad v_n = u_n + \frac{1}{n} \] Montrer ...

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Exercice Su12

On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par : \[ \begin{cases} u_0 = a \\ u_{n+1} = \sqrt{u_n v_n} \end{cases} \qquad \text{et} \qquad \begin{cases} v_0 = 2a \\ v_{n+1} = \frac{u_n + v_n}...

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Exercice Su13

Soit $(u_n)_{n \geq 2}$ et $(v_n)_{n \geq 2}$ les suites définies par : \[ u_n = 2^{n+1} \sin \frac{\pi}{2^{n+1}} \quad \text{et} \quad v_n = 2^{n+1} \tan \frac{\pi}{2^{n+1}} \] Montrer que ...

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Exercice Su14

Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $b \neq -a$. On considère la suite $(u_n)$ définie par : \[ u_n = \frac{a^n - b^n}{a^n + b^n} \] Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ selon les valeurs...

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Exercice Su15

Soit $(u_n)_{n \geq 1}$ la suite numérique définie par : \[ u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} \] Soit $f$ la fo...

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Exercice Su16

La Suite Harmonique: Énoncé Soit la suite $(H_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie pour tout $n \geq 1$ par : \[ H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} \] M...

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Exercice Su17

Énoncé On considère les suites réelles $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ par: \begin{cases}u_0 &= 1\\\\ v_0 &= 2\end{cases} et: \begin{cases} u_{n+1} &= 4u_n - 2v_n \\ v...

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Exercice Su18

On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0 = 1$, $v_0 = 2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ : \[ \begin{cases} u_{n+1} = \frac{1}{3}(2u_n + v_n) \\ v_{n+1} = \frac{1}{3}(u_n + 2v_...

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Exercice Su19

Suite arithmético-géométrique : Soient $a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$ et $b \in \mathbb{R}^*$. On considère la suite $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0$ et la relation de récurrence ...

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Exercice Su20

Exercice 42 Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on considère la fonction polynôme $P_n$ définie sur $\mathbb{R}^+$ par : \[ P_n(x) = x^n + x^{n-1} + \dots + x^2 + x - 1 \] Montrer que l'équation ...

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Exercice Su21

Soit $(u_n)$ une suite croissante et majorée. On pose pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : \[ v_n = \frac{u_1 + u_2 + \dots + u_n}{n} \] Montrer que la suite $(v_n)$ est croissante. En déduire...

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Exercice Su22

Problème 1 : Genèse du nombre d'or et suite de Fibonacci L'objectif est de comprendre comment la résolution de l'équation: $$x^2 = x + 1$$ permet de déterminer l'expression explicite de la suit...

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exercice Su23

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle définie par ses deux premiers termes $u_0$ et $u_1$, et par la relation de récurrence : \[ \forall n \in \mathbb{N}, \ u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n \...

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Exercice Su24

Soit la fonction $f$ définie sur $I = ]1, +\infty[$ par : \[ \begin{align*} f : & ]1, +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \frac{3x - 1}{x + 1}\\ \end{align*} \] On considè...

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Exercice LC1

Déterminer la limite en $0$ de : \[ f(x) = \frac{\sqrt{x+4}-2}{x-x^2} \] Déterminer la limite en $1$ de : \[ g(x) = \frac{\sqrt{x^2+3}-2}{x^2+x-2} \] Déterminer la limite en ...

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Exercice LC2

Calculer les limites suivantes : \[ \begin{array}{ll} \text{1) } \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{7x} & \text{7) } \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - \sin...

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Exercice LC3

Etudier la continuité sur $~\Bbb R~$ des fonctions suivantes: \begin{cases} f(x)=x\sin(\frac{1}{x}) \text{ si } x\neq 0\\\\ f(0)=0 \end{cases} \begin{cases} g(x)=x\cos(\frac{1}{x}) \text{ si...

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Exercice LC4

On considère la fonction $f$ définie par : \[ \begin{align*} f : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \begin{cases} f(x) = \dfrac{\sqrt{3 + \cos x} - 2}{x^2} & \text{si } x ...

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Exercice LC5

Déterminer le réel $~a~$ pour que la fonction $~f~$ définie par : \[ \begin{cases} f(x) = \dfrac{\cos^3 x - 1}{\sin^2 x} & \text{ si } x \neq 0 \\ \\ f(0) = a & \end{cases} \] Soit cont...

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Exercice LC6

Soit $f$ une fonction définie et continue sur l'intervalle $[0, 1]$ à valeurs dans $[0,1]$ : \[ \begin{align*} f : &[0, 1] \longrightarrow [0, 1]\\ &x \longmapsto f(x)\\ \end{align*} \] ...

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Exercice LC7

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a, b]$ telles que : \[ f(a) g(b) \] Question : Démontrer qu'il existe au moins un réel $x_0 \in ]a, b[$ tel que $f(x_0) = g(x...

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Exercice LC8

Soit $f$ une fonction définie et continue sur $\Bbb R$ telle que: $$(\exists a \in \Bbb R) :\quad f\circ f(a)=a$$ Montrer qu'il existe $~(c\in\Bbb R)~$ tel que: $$f(c)=c$$...

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Exercice LC9

Soit $f$ une fonction continue sur $~[a , b]$; et soit $~~\alpha ,\beta~~$ 2 deux réels strictement posistifs tels que: $$\alpha+\beta =1$$ Montrer qu' il existe un réel $~c\in ] a, b[~$ tel qu...

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Exercice LC10

Soit $f$ la fonction définie par : \[ \begin{align*} f : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \sqrt{x - E(x)} - x\\ \end{align*} \] Questions : Déterminer $D_...

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Exercice LC11

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue en $0$ telle que : \[ \forall x \in \mathbb{R}, f(2x) = f(x) \] Montrer par récurrence que $~(\forall n \in \mathbb{N})~$ et $~(\fora...

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Exercice LC12

Théorème des cordes horizontales: Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Soit $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ une fonction continue telle que $f(0) = f(1)$. Démontrer qu'il existe un réel $c \in \left[0, 1 - \frac{...

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Exercice LC13

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues de $[0, 1]$ dans $[0, 1]$ telles que $f \circ g = g \circ f$. Montrer que si un réel $a$ est solution de $f(x)=x$, alors $g(a)$ est aussi solution de ce...

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Exercice LC14

Valeur moyenne et TVI Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a, b]$, et soient $x_1, x_2, \dots, x_n$ des éléments distincts de $[a, b]$. Montrer qu'il existe un réel $c \in [a, b]$ tel q...

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Exercice LC15

Soit $f$ une fonction numérique continue sur $\mathbb{R}$ et telle que : $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = a\quad$ et $\quad \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = b\quad $ avec $\quad ab Montre...

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Exercice LC16

Soit $~n\geq 2~$ un entier naturel. On considère la fonction numérique $f$ définie sur $~\mathbb{R}~$ par : \[ f(x) = x^{n+1} - 2x^n + 1 \] Montrer que $f$ est strictement décroissante sur l...

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Exercice Su25

Suites extraites: Démontrer que si une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers une limite $\ell$, alors les suites $(u_{2n})_{n \in \mathbb{N}}$ et $(u_{2n+1})_{n \in \mathbb{N}}$ convergent...

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Exercice LC16

Soit $f$ une fonction continue et positive sur $\mathbb{R}^+$ telle que : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} Montrer que l'équation $f(x) = x$ admet au moins une solution dans $\mathbb{R}^+$....

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Exercice LC17

Étude de la fonction de Thomae : (Pour les meilleurs élèves) Dans tout ce qui suit, l'écriture $x = \frac{p}{q}$ (ou $r_n = \frac{p_n}{q_n}$) désigne la forme irréductible de $x$ avec $q \in \mathb...

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Exercice LC18

On considère dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : \[ (E) : x^3 + 3x - 4 = 0 \] Montrer que l'équation $(E)$ admet une solution unique dans $\mathbb{R}$. On pose : $\alpha = \sqrt[3]{\sqr...

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Exercice LC19

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}^*$ par : \[ f(x) = x E\left(\frac{1}{x}\right) \] où $E$ désigne la fonction partie entière. Donner le domaine de définition de $f$ ...

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Exercice LC20

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ f(x) = \frac{1}{\ln |x|}\\ \] Donner le domaine de définition de $f$ $f$ est-elle prolongeable par continuité aux points -1 et ...

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Exercice LC21

On considère, l'intervalle $I=[-1, 1]~$ et $~f~$ la fonction définie sur $~I \setminus \{0\}~$ par : \[ f(x) = \frac{\ln(1+|x|)}{x} \] Montrer que $f$ est impaire sur son domaine de définit...

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Exercice LC22

Soit la fonction $f$ définie par : \[ \begin{align*} f : &[0, 1] \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto f(x)\\ \end{align*} \] On suppose que $f$ est continue sur $[0, 1]$ et que: $...

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Exercice LC23

Soit la fonction $f$ définie par : \[ \begin{align*} f : [a, b] &\longrightarrow \mathbb{R}\\ x &\longmapsto f(x)\\ \end{align*} \] On suppose que $f$ est continue sur $[a, b]$ et que: $...

Limites et Continuité Solution Posted by admin on Wed Mar 11 2026

Exercice D1

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ \begin{align*} f : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^+\\ &x \longmapsto |x|\\ \end{align*} \] Représenter la fonct...

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Exercice D2

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ \begin{align*} f : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto x|x|\\ \end{align*} \] Représenter graphique...

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Exercice D3

On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ h(x) = \begin{cases} x^2(x - 1) & \text{si } x \in [0, 1] \\ 0 & \text{ailleur }\end{cases} \] Ét...

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Exercice D4

On considère la fonction $f$ définie par : \[ \begin{align*} f : &D_f \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)\\ \end{align*} \] Déterminer le domaine d...

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Exercice D5

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ \begin{align*} f : &\mathbb{R} \longrightarrow ]-1, 1[\\ &x \longmapsto \frac{x}{1 + |x|}\\ \end{align*} \] Montrer que ...

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Exercice D6

Calculer en utilisant les formules de moivre: $~~f(x)=\sum\limits_{k=1}^n{\sin(kx)}$ En déduire: $~~g(x)=\sum\limits_{k=1}^n{k\cos(kx)}$ Calculer: $~~\sum\limits_{k=1}^n{kx^{k-1}}$ En...

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Exercice D7

Soit $~f~$ une fonction dérivable en un point $~x_0$. Montrer que : \[ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{2h} = f'(x_0) \] Calculer la limite en $~x_0~$ de:...

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Exercice D8

Soit $a$ un réel quelconque. Partie 1 Montrer que : \[ \lim_{x \to a} \frac{\arctan x - \arctan a}{x - a} = \frac{1}{1 + a^2} \] Partie 2 En déduire les valeurs des...

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Exercice D9

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par : \[ \begin{cases} f(x) = x \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) & \text{si } x \in ]0;1] \\\\ f(0) = 0 \end{cases} \] Soit $n$ u...

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Exercice D10

Calculer : \[ \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\ln(\sin x) - \ln(\cos x)}{\sin x - \cos x} \] ...

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Exercice D11

Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$ et deux fois dérivable sur $]a, b[$. On suppose que : \[ f(a) = f(b) = 0 \quad \text{et} \quad \forall x \in ]a, b[, f''(x) \...

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Exercice D12

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[a, b]$ telle que $f(a) = f(b)$ et $f'(a) = 0$. On considère la fonction auxiliaire $g$ définie sur $]a, b]$ par : \[ g(x)...

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Exercice D13

Calculer les dérivées des fonctions suivantes : $x \longmapsto \sqrt{1 + x^2 \sin^2 x}$ $x \longmapsto \frac{\exp(1/x) + 1}{\exp(1/x) - 1}$ $x ...

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Exercice D14

Énoncé Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ f(x) = (1+x)^{2n} \] Calculer $f^{(n)}(0)$ de deux manières différ...

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Exercice D15

Soit $n \in \mathbb{N}$. On pose: \begin{align*} \Bbb R^{\ast}&\longrightarrow \Bbb R \\\\ x &\longmapsto x^n e^{1/x} \end{align*} On désigne par f^{n} la dérivée d'ordre n de $f$. Montrer...

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Exercice D16

On considère la fonction $g$ définie sur $~\Bbb R~$ par: $$g(x)=x^2e^x$$ Approche par la formule de Leibnitz: Calculer $g^{'}(x)$ et $g^{''}(x)$ En utilisant la formule de Leibnitz calcuer $~g...

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Exercice D17

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ \begin{align*} f : & \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ & x \longmapsto \sqrt[3]{x+8} \\ \end{align*} \] Justifier que $f$ ...

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Exercice D18

On pose: $$f(x)=(1+x)^7 \qquad g(x)=(1+x)^{-7}$$ Donner les expressions de la dérivée de $f$ et de $g$. En déduire des approximation afines des nombres, $~1.001^7~$ et $~1,001^{-7}$. Comparer ...

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Exercice D19

Montrer que la fonction $f$ définie par : \[ \begin{align*} f : & \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ & x \longmapsto (2x-1)^{7} \end{align*} \] ...

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Exercice D20

Soit $~f~$ la fonction définie par : \[ \begin{align*} f : & \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ & x \longmapsto x^2 - 4x \end{align*} \] On considère les points $A(1, -3)$ et $B(4, 0...

Dérivation et étude de fonctions Solution Posted by admin on Wed Mar 11 2026

Exercice D21

Soit $g$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ telle que : \[ \lim\limits_{x \to 0} \frac{g(2x) - g(x)}{x} = \ell \] Questions Montrer qu'il existe une fonction $\varphi$ telle que: $$g(...

Dérivation et étude de fonctions Solution Posted by admin on Wed Mar 11 2026

Exercice D22

Étudier la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ f(x) = x^5 - 5x + 1 \] En déduire que l'équation $~x^5 - 5x + 1 = 0~$ admet exactement trois solutions réelles....

Dérivation et étude de fonctions Solution Posted by admin on Wed Mar 11 2026

Exercice D23

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls et $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $n\geq 4$. Considérons le polynôme suivant: $$P(X)=X^n + aX + b$$ On se propose de montrer que ce polynome admet au p...

Dérivation et étude de fonctions Solution Posted by admin on Wed Mar 11 2026

Exercice D24

Calcul de la limite d'un produit infini 1. Vérifier que: $$\dfrac{t^2}{1+t} = \dfrac{1}{1+t} - (1-t)$$ En intégrant cette égalité prouver que pour $~x \geq 0$ on a : \...

Dérivation et étude de fonctions Solution Posted by admin on Wed Mar 11 2026

Exercice D25

I. Étude locale et comportement de la fonction Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x) = x - \ln(1+x^2)$$ On note $\mathcal{C}_f~$ sa courbe représentative. Vérifier...

Dérivation et étude de fonctions Solution Posted by admin on Wed Mar 11 2026

Exercice D26

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb R$ telle que $~f(0) = 0~$. Montrer que la suite définie par: $$S_n = \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n^2}\right)$$ admet une limite lors...

Dérivation et étude de fonctions Solution Posted by admin on Wed Mar 11 2026

Exercie D27

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on considère le polynôme défini par : \[ e_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} \] Montrer que toutes les racines de $e_n$ dans $\mathbb{C}$ sont simples....

Dérivation et étude de fonctions Solution Posted by admin on Wed Mar 11 2026

Exercice Ln1

Soient $a, b$ et $c$ trois réels strictement positifs. On pose: $~A = \ln a$, $\quad B = \ln b\quad $ et $\quad C = \ln c$. Exprimer les expressions suivantes en fonction de $A, B$ et $C$ : ...

Fonctions logarithmes Solution Posted by admin on Wed Mar 11 2026

Exercice Ln2

Simplifier au maximum les expressions réelles suivantes : $\mathcal{A} = \ln\left(7 + 4\sqrt{3}\right)^{15} + \ln\left(7 - 4\sqrt{3}\right)^{15} $ $ \mathcal{B}...

Fonctions logarithmes Solution Posted by admin on Wed Mar 11 2026

Exercice Ln3

Soient $x, y$ et $z$ trois réels strictement positifs. On pose $X = \ln x$, $\quad Y = \ln y\quad $ et $\quad Z = \ln z$. Exprimer les expressions suivantes en fonction de $X, Y$ et $Z$ : ...

Fonctions logarithmes Solution Posted by admin on Wed Mar 11 2026

Exercice Ln4

Déterminer le domaine de définition et résoudre les équations suivantes $ \ln(x+3) + \ln(x+2) = \ln(x+11) $ $ \ln(x^2 - 4x + 3) = \ln(2x - 5) $ $2\ln(x) = \ln(x+4) + \l...

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Exercice Ln5

Résoudre les équations suivantes : $ (\ln x)^2 - 5\ln x + 6 = 0 $ $2(\ln x)^2 + \ln x - 3 = 0 $ $\ln x + \frac{2}{\ln x} = 3 $ ...

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Exercice Ln6

Résoudre les équations suivantes en prêtant une attention particulière aux propriétés de la fonction $\ln$ : $\ln|x-1| + \ln|x+1| = \ln(3) $ $\ln(\sqrt{2x-1}) = 1$ $\ln(...

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Exercice Ln7

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Démontrer que $\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$. En déduire que $\frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab}$. Montrer que ces résultats peuvent s'éc...

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Exercice Ln8

Soient $a,b>0~$ Soient $~p,q~$ 2 réels strictement positifs conjugués c'est-à-dire : $$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$$ Soient $~(x_i:~i=1\cdots,n),~$ des nombres strictement positifs. En...

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Exercice Ln9

Inégalité de Bernoulli et convexité Soit $\alpha \geq 1$. On considère la fonction $f$ : \begin{align*} f : &]-1, +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto (1+x)^\alpha\\ \end{align*}...

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Exercice LN10

Tangentes et Convexité Démontrer, à l'aide du TAF, que si $f$ est convexe sur son domaine de définition, alors sa courbe est au-dessus de ses tangentes. En déduire que pour tout réel, $~x$...

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Exercice Ln11

On considère la fonction $f$ définie sur $]1; +\infty[$ par : \[ \begin{align*} f : &]1; +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \ln(\ln x)\\ \end{align*} \] Étudier les vari...

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Exercice Ln12

Soit $~n\in\Bbb N^{\ast}~$, et soit $f_n$, la fonction définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par : \[ f_n(x) = x - n \ln x \] Calculer les limites : $\lim\limits_{x \to ...

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Exercice Ln13

On considère la suite numérique $(u_n)_{n \ge 2}$ définie par : \[ u_n = \sum_{k=2}^{n} \ln\left(1 - \frac{1}{k^2}\right) \] Montrer que : \[ (\forall n \ge 2) \quad u_n = \ln\left( \f...

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Exercice Ln14

Soit la fonction numérique $~f~$ définie par : \[ \begin{align*} f : &D_f \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \frac{x}{\sqrt{2 - \ln^2 x}}\\ \end{align*} \] Déterminer...

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Exercice Ln15

On se propose de démontrer que la fonction $~\log(x)~$ ne peut pas s'écrire comme fraction rationnelle. Supposons par l'absurde qu'il existe Deux fonctions polynomiales $P(x)$ et $Q(x)$ tels que: ...

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Exercice Ln16

Soient $~f,g~$ et $~h~$ 3 fonctions définies par: \begin{align*} f : D_f &\longrightarrow \mathbb{R}\\ x &\longmapsto x^{\frac{1}{x}}\\ \end{align*} \begin{align*} g: D_g &\longrightar...

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Exercice Ln17

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}^*$ par : \[ \begin{align*} f : &\mathbb{R}^* \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \frac{\sqrt{\ln(x^2 + 1)}}{x} \end{align*} \] ...

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Exercice Ln18

Soit $f$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $~[0;1]~$ par : \[ \begin{cases} f(x) = \ln(x) \cdot \ln(1-x) & \text{si } x \in ]0;1[ \\ \\ f(0) = f(1) = 0 \end{cases} \] Montrer...

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Exercice Ln19

En utilisant la définition de la dérivée en un point (ou la règle de L'Hôpital), calculer la limite suivante : \[ \lim_{t \to 1} \frac{\ln(2t\sqrt[3]{t} - 1)}{t - 1} \] ...

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Exercie Ln20

On considère les fonctions $~f~$ et $~g~$ définies au voisinage de $~+\infty~$ par : \[ f(x) = \frac{\ln(1+x)}{\ln x} \quad \text{et} \quad g(x) = x \ln\left(\frac{\ln(1+x)}{\ln x}\right) \] En util...

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Exercice Ln21

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^+$ par : \[ \begin{cases} f(0) = 0 \\ f(x) = x\sqrt{|\ln x|} & \text{si } x > 0 \end{cases} \] Étudier la dérivabilité à droi...

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Exercice Ln22

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus \lbrace 1 \rbrace$ par : \[ f(x) = \frac{7x - 5}{(x - 1)^2} \] Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que pour tout réel...

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Exercice EXP1

Soient (x,y,z) des nombres réels quelconques: Montrer que: $$x(y-z)+y(z-x)+z(x-y)=0$$ En déduire que pour tout $~(a,b,c)\in\Bbb R^{\ast}_+~$: $$a^{\log{\left(\frac{b}{c}\right)}}\cdot b^{\log{\l...

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Exercice EXP2

Résoudre dans $~\Bbb R~$ les équations suivantes: $\exp{(x^2)}=(\exp(x))^2$ $\exp{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)}=\exp{\left(\frac{1}{x-1}\right)}$ $\exp(x^2+\frac{1}{x^2})=e^2$ $\exp(x^2+x-2) \lt...

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Exercice EXP3

Exercice : Étude de l'équation exponentielle $a^b = b^a$ On considère la fonction $f$ définie sur $]0, +\infty[$ par : \begin{align*} f : &]0, +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longm...

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Exercice EXP4

Simplifier les expressions suivantes : \[ \begin{array}{lll} a_1 = e^{\ln 13} \qquad \qquad & a_2 = e^{4 \ln 5}\qquad\qquad & a_3 = e^{-\ln 7} \\ \\ b_1 = e^{\frac{1}{3} \ln 27} & b_2 = e^{-\fr...

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Exercice EXP5

EXERCICE 02 Simplifier les écritures des nombres suivantes : \[ \begin{array}{ll} A_1 = \ln(e^{-5}) \qquad \qquad & A_2 = \ln\left(\frac{1}{e^3}\right) \\ \\ A_3 = \ln\left(\sqrt{e^{-\ln(e^4)}}...

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Exercices EXP6

Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive de la fonction $ f $ sur un intervalle convenable : \[ \begin{array}{ll} 1) \ f(x) = e^{-2x+5} \qquad \qquad \qquad \qquad & 2) \ f(x) = \sq...

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Exercice EXP 7

On considère les fonctions numériques $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par : \[ f(x) = e^{2x} \cos x \qquad \qquad g(x)=e^{2x}\sin x \] Calculer $f'$ et $g'$ en fonction de $f$ et $g$...

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Exercice EXP8

Partie A Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation suivante : \[ 2^{\sin^2 x} = \cos(x) \] On considère le nombre réel : \[ a = \frac{\sqrt{5} +...

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Exercice EXP10

Calculer les limites suivantes : \( (m \in \mathbb{R}_+^*) \) \[ \begin{array}{lll} L_1 = \lim\limits_{x \to -\infty} \left( \frac{2}{3} \right)^x \qquad & L_2 = \lim\limits_{x \to 0^+} x^{\sqr...

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Exercice EXP11

Baccalauréat C Pondichéry avril 1994 Soit \( f \) la fonction numérique définie sur \( \mathbb{R} \) par : \[ f(x) = (x - 2)e^x + x \] et \( (\mathcal{C}) \) sa représentation graphique dans un r...

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Exercice Ln23

PROBLÈME Baccalauréat C - Amérique du Nord, juin 1994 Dans tout le problème, \( n \) désigne un entier naturel non nul. I. Étude d'une fonction auxiliaire \( g_n \) Soit \( g_n \) la fonction ...

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Exercice EXP12

EXERCICE Baccalauréat S - Liban, 3 juin 2010 On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par : \[ u_n = \int_{0}^{1} \frac{e^{-nx}}{1 + e^{-x}} \, dx \] ...

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Exercice Ln24

EXERCICE 4 Baccalauréat S - Liban, 3 juin 2010 Partie A Soit \( u \) la fonction définie sur \( ]0; +\infty[ \) par : \[ u(x) = x^2 - 2 + \ln x \] Étudier les variations de \( u \) ...

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Exercice EXP13

Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) les systèmes suivants : \[ \begin{array}{ll} (S_1) : \begin{cases} 3^x + 7^y = 16 \\ 3^x - 7^y = 2 \end{cases} & (S_2) : \begin{cases} 2^{x-2} \cdot 2^{y-1} = 1...

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Exercice EXP14

Bac S Liban 2004 Soit $ x $ un nombre réel positif ou nul et $ k $ un entier strictement supérieur à $ x $. Montrer par récurrence sur $ n $ que, pour tout entier $ n $ supérieur o...

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Exercice EXP15

Liban Bac S 2004 Soit $ f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par : \begin{align*} f : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto x + \ln 4 + \frac{2}{e^{x}+1} \end{align*} ...

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Exercice EXP 16

Pour tout entier $ n \ge 3 $, on considère la fonction $ f_{n} $ définie sur $ \mathbb{R} $ par : \[ f_{n}(x) = \frac{x^{n}}{e^{x}-1} \text{ si } x \neq 0 \quad \text{ et } \quad f_{n}(0) = 0 \...

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Exercice EXP17

Exercice : Étude de l'équation $a^{a^x} = x$ Soit $ a $ un nombre réel tel que $ a > 1 $. On cherche le nombre de solutions de l'équation suivante : \[ (E) : a^{\left(a^{x}\right)} = x \] ...

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Exercice Ln25

Soient $a$, $b$ et $c$ des réels strictement supérieurs à 1. Montrer les égalités suivantes : $\log_{\frac{1}{a}} \left( \frac{1}{b} \right) = \log_a(b)$ ; $\log_{\frac{1}{a}}(...

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Exercice Ln26

BAC Sciences Mathématiques A et B - Session rattrapage Maroc 2021. Partie I: On considère la fonction $ f $ définie sur l'intervalle $ I = ]-\infty, 1[ $ par : \[ \begin{align*} f : &]-\infty,...

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Exercice Exp18

Polynésie 1999 - Bac SSoit $ f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par : \[ f(x) = x - e^{2x-2} \] On note $ (C) $ la courbe représentative de $ f $ dans un repère orthonormal $ (O, \vec{i}, ...

Fonctions exponentielles Solution Posted by admin on Wed Mar 11 2026

Exercice Su26

On considère la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : $$ I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} dx $$ Calculer $I_0$. Montrer que la suite $(I_n)$ est décroissante. Montrer que la suite $...

Suites numériques Solution Posted by admin on Wed Mar 11 2026

Exercice LC24

Exercice : Étude et prolongement d'une fonction rationnelle Énoncé Soit la fonction $ f $ définie par l'expression suivante : \[ f(x) = \frac{1}{1-x} - \frac{3}{1-x^3} \] Déterminer $ D_...

Limites et Continuité Solution Posted by admin on Wed Mar 11 2026

Exercice LC25

Soit $a \neq 0$ et soit $P(x) = ax^2 + bx + c$ un polynôme du second degré admettant deux racines réelles $\alpha$ et $\beta$ (éventuellement confondues). Calculer la limite suivante : \[ \lim_{...

Limites et Continuité Solution Posted by admin on Wed Mar 11 2026

Exercice LC26

Inspiré du JEE Main Énoncé Soit $ f $ une fonction définie sur $ \mathbb{R} $ telle que la limite $ \lim_{x \to 5} f(x) $ existe. On donne la relation suivante : \[ \lim_{x \to 5} \frac{(f(x...

Limites et Continuité Solution Posted by admin on Wed Mar 11 2026

Exercice LC27

Énoncé Inspiré d'un classique du JEE Main, cet exercice illustre un piège fréquent concernant la définition de la continuité. Soit la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par: \[ f(x) = E...

Limites et Continuité Solution Posted by admin on Wed Mar 11 2026

Exercice INT 1

Calculer les intégrales suivantes : $A_1 = \int_{-2}^{3} t(t^2+2)^7 \,dt$ $A_2 = \int_{1}^{4} \left(\sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}}\right)^2 \,dt$ $A_3 = \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{2x+1}}$ ...

Calcul intégral Solution Posted by admin on Wed Mar 11 2026

Exercice INT 2

Calculer les intégrales suivantes : $B_1 = \int_{1}^{2} x\sqrt{x-1} \,dx$ $B_2 = \int_{2}^{5} \frac{t}{\sqrt{t-1}} \,dt$ $B_3 = \int_{2}^{3} \frac{x}{(x-1)\sqrt{x+1}} \,dx$ $B_4 ...

Calcul intégral Solution Posted by admin on Wed Mar 11 2026

Exercice INT 3

Calculer les intégrales suivantes : $C_1 = \int_{0}^{\pi} \left(\cos\frac{x}{2} - \sin 3x\right) \,dx$ $C_2 = \int_{0}^{\pi} \sin^3(2x) \,dx$ $C_3 = \int_{0}^{\pi} \sin^3 x \cos x \,dx$ ...

Calcul intégral Solution Posted by admin on Wed Mar 11 2026

Exercice INT 4

Calculer les intégrales suivantes : $D_1 = \int_1^2 \frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}} \,dx$ ; $D_2 = \int_0^{\frac{pi}{2}} \sin(2x)e^{\cos^2 x} \,dx$ $D_3 = \int_1^{e^2} \frac{\ln t}{t} \,dt$ ; $D...

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Exercice INT 5

Calculer les intégrales suivantes : $I_1 = \int_0^{\ln 3} \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \,dx$ ; $I_2 = \int_2^3 (2-x)e^{x^2-4x} \,dx$ $I_3 = \int_1^e \frac{dx}{x(1+\ln x)}$ ; $I_4 = \int_...

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Exercice INT 6

On considère l'intégrale : $I = \int_0^{\frac{pi}{4}} \frac{dx}{1+\sin(2x)}$ Montrer que pour tout $x \in \left[0;\frac{pi}{4}\right]$ : $$\frac{1}{1+\sin(2x)} = \frac{1+\tan^2 x}{(1+\tan x)^2}$...

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Exercice INT 7

On considère les intégrales : $$I = \int_0^{\frac{pi}{2}} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} \,dx \quad \text{et} \quad J = \int_0^{\frac{pi}{2}} \frac{\sin x}{\cos x + \sin x} \,dx$$ Calculer $I+J$ et $...

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Exercice INT 8

On considère les intégrales : $$I = \int_0^{\frac{pi}{2}} \cos^4 x \,dx \quad ; \quad J = \int_0^{\frac{pi}{2}} \sin^4 x \,dx \quad ; \quad K = \int_0^{\frac{pi}{2}} 2\sin^2(x)\cos^2(x) \,dx$$ Ca...

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Exercice INT 9

Soit $f$ la fonction numérique sur $\mathbb{R}$ définie par : $$ f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{4}x+6 & \text{si } x Vérifier que $f$ est continue en 3 puis calculer $\int_{-1}^{5} f(x) \,dx$....

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Exercice INT 10

Calculer les intégrales suivantes : $A = \int_{-1}^3 |3x^2 - 6x| \,dx$ ; $B = \int_2^5 |x^2 - 7x + 12| \,dx$ $I = \int_{1/e}^e |\ln x| \,dx$ ; $J = \int_0^{2\pi} (|\sin x| + |\cos x|) \,dx$ ...

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Exercice INT 11

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)= \frac{1}{(x^2+3x+2)^3}$ Déterminer les réels $a, b, c, d, \alpha$ et $\beta$ tels que pour tout $x \in [2;3]$ : $$f(x) = \frac{a}{(x+1)^3} + \frac{b}...

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Exercice INT 12

En utilisant la formule d'intégration par parties, calculer les intégrales suivantes : $A = \int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{x}{\sqrt{1+2x}} \,dx$ ; $B = \int_1^e x \ln x \,dx$ $C = \int_0^1 (x+3)e...

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Exercice INT 13

En utilisant la formule d'intégration par parties, calculer les intégrales suivantes : $I = \int_0^{\frac{pi}{2}} (2x^2-x)\cos x \,dx$ ; $J = \int_0^{\pi} (3x+4)\cos^2 x \,dx$ $K = \int_1^2 x...

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Exercice INT 14

En utilisant la formule d'intégration par parties, calculer les intégrales suivantes : $I_1 = \int_0^{\frac{pi}{3}} \frac{x}{\cos^2 x} \,dx$ ; $I_2 = \int_0^{\frac{pi}{3}} \frac{x \sin x}{\cos^...

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Exercice INT 15

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ la suite définie par : $u_n = \int_1^e x^n \ln(x) \,dx$ En utilisant une intégration par parties, calculer pour tout $r \in \mathbb{Q} \setminus \{-1\}$ et pou...

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Exercice INT 16

On considère la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \frac{xe^x}{e^x+1}$ Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $$f'(x) = \frac{e^x(e^x+x+1)}{(e^x+1)^2}$$ En utilisan...

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Exercice INT 17

En utilisant deux fois la formule d'intégration par parties, montrer que : $$\int_0^{\frac{pi}{8}} e^{-2t} \cos(2t) \,dt = \frac{1}{4}$$ On considère les intégrales $E$ et $F$ telles que : ...

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Exercice INT 18

On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $I_n = \int_0^1 x^n \sqrt{1-x} \,dx$ Calculer $I_0$. En utilisant une intégration par parties, montrer que : $$(\forall n \in...

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Exercice INT 19

Vérifier que : $(\forall t \in \mathbb{R}^*_+)$ $$\frac{1}{t(t+1)^2} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1} - \frac{1}{(t+1)^2}$$ Calculer l'intégrale : $I = \int_0^{\ln 2} \frac{dx}{(e^x+1)^2}$ E...

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Exercice INT 20

En utilisant une intégration par parties, déterminer le réel $a$ tel que : $$\int_0^1 (x+a)e^x \,dx = e$$...

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Exercice INT 21

En utilisant la formule d'intégration par parties, calculer les intégrales suivantes : $I = \int_0^1 (1+e^x)\ln(x+e^x) \,dx$ $J = \int_0^{\frac{pi}{2}} e^{2x} \sin(e^x) \,dx$ ; $K = \int_0^{\...

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Exercice INT 22

On pose : $(\forall x \in ]0;1[) \quad I(x) = \int_x^1 t \, \text{Arctan}\left(\frac{1}{t}\right) \,dt$ En utilisant la formule d'intégration par parties, exprimer $I(x)$ en fonction de $x$. ...

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Exercice INT 23

Exercice 23 En utilisant un changement de variable approprié ou des transformations algébriques, calculer les intégrales suivantes : $A = \int_2^3 \frac{dx}{x+\sqrt{x-1}}$ $B = \int_0...

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Exercice INT 24

Exercice 24 En utilisant la technique de changement de variable, calculer les intégrales suivantes : $I_1 = \int_1^3 \frac{\sqrt{x}}{1+x} \,dx$ $I_2 = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}...

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Exercice INT 25

Déterminer deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que pour tout $t \neq -1$ : $$\frac{t}{(t+1)^2} = \frac{\alpha}{t+1} + \frac{\beta}{(t+1)^2}$$ En utilisant une intégration par changement de va...

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Exercice INT 26

Vérifier que : $(\forall t \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}) \quad \frac{t^2}{t+1} = t - 1 + \frac{1}{t+1}$ Calculer l'intégrale : $I = \int_1^{\sqrt{2}} \frac{t^2}{1+t} \,dt$ En posant $t...

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Exercice INT 27

Par un changement de variable approprié, calculer l'intégrale : \[I = \int_{\frac{3}{2}}^{\frac{7}{2}} \frac{dx}{4x^2+4x+5}\]...

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Exercice INT 28

Montrer que : $$\int_0^1 \frac{dx}{x^2-x+1} = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}}$$...

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Exercice INT 29

Pour tout $x \in ]-1; 0[$, on pose : $F(x) = \int_{\frac{1}{2}}^{x} \frac{dt}{t\sqrt{1+t}}$ Calculer $F(x)$ en fonction de $x$. Calculer $\lim_{x \to 0^-} F(x)$ et $\lim_{x \to -1^+} F(x)$. ...

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Exercice INT 30

En utilisant l'intégration par changement de variable, calculer les intégrales suivantes : $I = \int_0^{\ln 3} \sqrt{e^x-1} \,dx$ ; $J = \int_{-3}^0 \frac{x+2}{\sqrt{x+4}} \,dx$ $K = \int_0^{...

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Exercice INT 31

Pour tout $x \in \mathbb{R}^+$, on pose : $f(x) = \int_0^x \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{1+t^3}} \,dt$ Calculer la dérivée sur $\mathbb{R}$ de la fonction : $\varphi : x \mapsto \ln(x+\sqrt{x^2+1})$ ...

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Exercice INT 32

Pour tout $a \in \mathbb{R}^*_+$ et $n \in \mathbb{N}^*$ on pose : $$I_n(a) = \int_1^a \frac{\sqrt{1+x^{2n}}}{x} \,dx$$ Vérifier que pour tout $t \in \mathbb{R} - \{-1; 1\}$ : $$\frac{t^2}{t^2-1...

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Exercice INT 33

Énoncé de l'exercice On considère l'intégrale $I = \int_0^1 \frac{e^{-x}}{1+x} \,dx$. Pour tout entier naturel $n$, on pose $I_n = \int_0^1 x^n e^{-x} \,dx$. ...

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Exercice INT 34

Calculer : $\lim\limits_{x \to 0^+} \int_x^{2x} \frac{dt}{t^2\sqrt{1+t^2}}$ $\lim\limits_{x \to +\infty} \int_x^{2x} \frac{dt}{1+\sqrt{t}}$ ...

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Exercice INT 35

Soit $a \in \mathbb{R}^*_+$ et $f$ une fonction continue sur le segment $[0; a]$. On définit la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ par : $u_n = \int_0^a \frac{f(x)}{1+nx} \,dx$ Calculer $\lim_{n \to +\infty} u_n...

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Exercice INT 36

On considère la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$F(x) = \int_x^{2x} \frac{dt}{\sqrt{1+t^2+t^4}}$$ Montrer que la fonction $F$ est impaire. Montrer que...

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Exercice INT 37

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2 \text{Arctan } x$, l'axe des abscisses et les droites d'équati...

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Exercice INT 38

Le plan est rapporté à un repère orthogonal $(O; \vec{i}, \vec{j})$ avec $\|\vec{i}\| = 2cm$ et $\|\vec{j}\| = 4cm$. Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes des fonctions $f$ et $g$ défini...

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Exercice INT 39

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ tel que $\|\vec{i}\| = 2cm$. Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la restriction de la fonction $x \mapsto \tan x$ sur $\l...

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Exercice INT 40

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$. Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la restriction de la fonction $\cos$ sur $I=[2\pi; 3\pi]$. Vérifier que la fonc...

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Exercice INT 41

On pose : $I_p = \int_1^e x(\ln(x)+1)^p \,dx$ où $p \in \mathbb{N}$. En utilisant une intégration par parties, montrer que : $(\forall p \in \mathbb{N}^*) \quad 2I_p = e^2 2^...

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Exercice INT 42

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ \begin{cases} f(x) = e^x \sqrt{1-e^x} & \text{si } x \le 0 \\ f(x) = 1 - \frac{\ln x}{x} + \left(\frac{\ln x}{x}\right)^2 & \text{si } x ...

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Exercice INT 43

Calculer $\lim_{n \to +\infty} u_n$ dans chacun des cas suivants : $u_n = \sum_{k=1}^n \frac{k^2}{n^2\sqrt[3]{n^3+k^3}}$ $u_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n+k}{n^2+k^2}$ $u_n = \frac{1}{n} \s...

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Exercice INT 44

Calculer $\lim_{n \to +\infty} u_n$ dans chacun des cas suivants : $u_n = \frac{1}{n} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^n (n+k)}$ $u_n = \left[ \prod_{k=1}^n \left(1+\frac{k}{n}\right)^k\right]^{\frac{...

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Exercice INT 45

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ f(x) = \begin{cases} \displaystyle \int_x^{x+1} (1+\ln t) \,dt & \text{si } x > 0 \\ f(0)=0 \\ \frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}} & ...

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Exercice INT 46

Montrer que pour tout $t \in \mathbb{R}$ : $$\frac{(1+t)^2}{(1+t^2)(3+t^2)} = \frac{t}{1+t^2} - \frac{t}{3+t^2} + \frac{1}{3+t^2}$$ Montrer que pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$ : $$\int_0^...

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Exercice INT 47

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[1; +\infty[$ par : $f(x) = e^{-\sqrt{x-1}}$ et soit $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ avec : $\|\v...

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Exercice INT 48

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ on pose : $u_n = \int_0^1 \frac{2^n t}{1+n2^nt^2} \,dt$ Calculer $u_0$. Calculer $u_n$ en fonction de $n$ puis déterminer $\lim_{n \to +\infty} u_n$. ...

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Exercice INT 49

On considère la fonction $f$ définie sur $I = \left[0; \frac{\pi}{4}\right]$ par : $$f(x) = \frac{\sin x}{\cos^3 x}$$ On considère l'intégrale : $K = \int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{\cos^4 x} \,dx$ ...

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Exercice INT 50

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = e^{-x} \sin x$ Vérifier que : $(\forall x \in \mathbb{R}) \quad f''(x) + 2f'(x) + 2f(x) = 0$ Soit $n \in \mathbb{N}$. Calculer : $a...

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Exercice INT 51

Calculer l'intégrale suivante : \[I = \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^4 x} \,dx\] En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale : \[J = \int\limits_0^{\frac{\...

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Exercice INT 52

En utilisant la formule de l'intégration par parties, une ou plusieurs fois, calculer les intégrales suivantes : $I_1 = \int_1^e x^2 e^x \,dx$ ; $I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (x^2+4x)\sin(2x) \,d...

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Exercice INT 53

On considère les intégrales suivantes : $I = \int_0^\pi e^x \cos^2(x) \,dx \quad ; \quad J = \int_0^\pi e^x \sin^2(x) \,dx$ $K = \int_0^\pi e^x \cos(2x) \,dx$ En utilisant deux fois la formule d'...

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Exercice INT 54

Calculer l'intégrale suivante : \[I = \int_{-\ln 2}^0 \frac{dx}{1+2e^x}\] En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale : \[J = \int_{-\ln 2}^0 e^{-x} \ln(1+2e^x) \,dx\...

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Exercice INT 55

Soit $m \in \mathbb{R}^*_+$. On considère : \[I(m) = \int_{-m}^m e^{-2|x|} \,dx\] Calculer $~I(m)$ en fonction de $m$ Calculer $~\lim\limits_{m\to +\infty}{I(m)}$ ...

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Exercice INT 56

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ on pose : \[f(x) = \int_x^{2x} \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} \,dt\] Calculer $f(x)$ en fonction de $~x$. Déterminer $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$. ...

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Exercice INT 57

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose : $I_n = \int_0^1 \frac{x^{2n+1}}{\sqrt{1+x^2}} \,dx$ Calculer $I_0$. En utilisant une intégration par parties, montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ ...

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Exercice INT 58

On considère les intégrales : $$I = \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x^2+2}} \quad ; \quad J = \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{x^2+2}} \,dx \quad ; \quad K = \int_0^1 \sqrt{x^2+2} \,dx$$ Montrer que : $J+2I = ...

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Exercice INT 59

Soit $\lambda \in ]0;1[$. En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale : $I(\lambda) = \int_0^{1-\lambda} \ln(1-t^2) \,dt$ Déterminer la limite : $\lim_{\lambda \to 0^+} I(\...

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Exercice INT 60

Soit $a \in \mathbb{R}^*_+$. On considère les intégrales : $$F_a(x) = \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{t^2+a^2}} \quad \text{et} \quad G_a(x) = \int_0^x \sqrt{t^2+a^2} \,dt$$ Montrer que : $F_a(x) = \ln(...

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Exercice INT 61

Calculer les intégrales suivantes : $I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x}{1+\cos x} \,dx\qquad $ ; $\qquad I_2 = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \sin(2x)\cos(5x) \,dx$ $I_3 = \int_0^{\ln(\sqr...

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Exercice INT 62

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose : $$A_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-nx} \sin(x) \,dx \quad \text{et} \quad B_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-nx} \cos(x) \,dx$$ Calculer $A_0$ et $B_0$. ...

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Exercice INT 63

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ on pose : $u_n = \frac{1}{n!} \int_0^1 (1-x)^n e^x \,dx$ Montrer que : $\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = u_n - \frac{1}{(n+1)!}$ En déduire que : $\foral...

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Exercice INT 64

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ on pose : $I_n = \int_0^1 \frac{dt}{(1+t^2)^n}$ Calculer $I_1$. En utilisant la formule d'intégration par parties, calculer $I_{n+1} - I_n...

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Exercice INT 65

En utilisant l'intégration par changement de variable, calculer les intégrales suivantes : $I = \int_1^{\sqrt{5}} \frac{1-t^2}{(1+t^2)\sqrt{1+t^4}} \,dt \quad \text{avec } \left(u=t+\frac{1}{t}...

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Exercice INT 66

Pour tout $(a;x) \in \mathbb{R}^2$ on pose : $F_a(x) = \int_x^a \sqrt{\frac{e^t}{1+e^t}} \,dt$ En utilisant l'intégration par changement de variable suivant : $u = \sqrt{\frac{e^t}{1+e^t}}$, ca...

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Exercice INT 67

Soit $a \in [1; +\infty[$. Pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ on pose : $$I_a(x) = \int_0^x t^2 \sqrt{t+a} \,dt$$ En utilisant l'intégration par changement de variable et en posant $u = \s...

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Exercice INT 68

Soit $f$ la fonction définie sur $I = [1; +\infty[$ par : $$f(t) = \frac{1}{2}\left(\sqrt{t} + \frac{1}{\sqrt{t}}\right)$$ Montrer que $f$ réalise une bijection de $I$ sur $I$ puis défini...

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Exercice INT 69

On considère l'intégrale : $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x}{1+e^{2x}} \,dx$ En utilisant le changement de variable $t = -x$, montrer que : $$I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^...

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Exercice INT 70

On considère les intégrales suivantes : $$I = \int_{-1}^1 t \cdot \text{Arctan}(t) \,dt \quad \text{et} \quad J = \int_{-1}^1 \frac{t \cdot \text{Arctan}(t)}{1+e^t} \,dt$$ En utilisant une intégr...

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Exercice INT 71

En utilisant une intégration par changement de variable et en posant $t = \frac{\pi}{4} - x$, calculer les intégrales : $$L_1 = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan x) \,dx$$ $$L_2 = \int_0^{\frac{\pi}{4...

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Exercice INT 72

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\alpha \in \mathbb{R}^*_+$. On pose : $$I_n(\alpha) = \int_0^{\frac{\pi}{2n}} \frac{\cos^\alpha(nt)}{\cos^\alpha(nt) + \sin^\alpha(nt)} \,dt$$ Calculer $I_n(\alpha)$ et...

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Exercice INT 73

Soit $f$ une fonction continue sur le segment $[a;b]$. Montrer que : $\int_a^b f(x) \,dx = \int_a^b f(a+b-x) \,dx$ En déduire la valeur de l'intégrale : $$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\f...

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Exercice INT 74

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Montrer que pour tout $(a;b) \in I^2$ : $$\int_a^b f(x) \,dx = (b-a) \int_0^1 f(a+(b-a)t) \,dt$$...

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Exercice INT 75

Calculer : $$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin^2 x} \,dx + \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x}{\cos^2 x} \,dx$$...

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Exercice INT 76

Montrer que : $$\int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}} \cos(x) \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right) \,dx = 0$$...

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Exercice INT 77

Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ telle que : $$(\exists \lambda \in \mathbb{R})(\forall x \in \mathbb{R}) \quad \int_{-x}^x f(t) \,dt = \lambda$$ Montrer que la fonction $f$ est impaire...

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Exercice INT 78

Soit $f$ une fonction continue sur $[-a; a]$ (où $a \in \mathbb{R}^*_+$). Montrer que : $\int_{-a}^a f(t) \,dt = \int_0^a (f(t) + f(-t)) \,dt$ En déduire les implications suivantes : ...

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Exercice INT 79

Soit $f$ une fonction impaire et continue sur $\mathbb{R}$ et $n$ un entier naturel. Montrer que : $\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx) \,dx = 0$ Montrer que : $\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx) \,dx...

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Exercice INT 80

Soit $a \in ]0; 1[ \cup ]1; +\infty[$. Montrer que si $f$ est continue sur $[-a; a]$ et paire, alors : $$\int_{-a}^a \frac{f(x)}{e^x+1} \,dx = \int_0^a f(x) \,dx$$ En déduire la valeur de...

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Exercice INT 81

Soit $f$ une fonction continue sur le segment $[a; b]$ telle que pour tout $x \in [a; b]$ : $f(a+b-x) = f(x)$ Montrer alors que : \[\int_a^b x f(x) \,dx = \frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) \,dx\] Appli...

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Exercice INT 82

On considère l'intégrale $I$ définie par : $$I = \int_{-1}^1 \frac{(x^4+x^2+1)^2 + e^x}{e^x+1} \,dx$$ En utilisant le changement $x=-t$, montrer que : $$I = \int_{-1}^1 \frac{(x^4+x^2+1)^2 e^x + 1}{e^...

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Exercice INT 83

Montrer que : $(\forall t \in \mathbb{R}^+) \quad 1-t \le \frac{1}{1+t} \le 1$ En déduire que pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ : $$x - \frac{x^2}{...

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Exercice INT 84

Soit $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ une bijection et $g$ sa bijection réciproque. On suppose que $f$ et $g$ sont continues sur $\mathbb{R}^+$. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ : ...

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Exercice INT 85

(Les questions suivantes sont indépendantes) En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale suivante : $I = \int_0^1 \frac{x^2}{(1+x^2)^2} \,dx$ Calculer l'intégrale suivante ...

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Exercice INT 86

On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_n = \frac{(-1)^n}{2n+1}$ On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $S_n = u_0 + u_1 + ... + u_n$ Calculer l'intégrale : $\int_0^1 x^{2n} \,dx$ Mont...

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Exercice INT 87

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ on pose : $I_n = \frac{1}{n! 2^{n+1}} \int_0^1 (1-t)^n e^{\frac{t}{2}} \,dt$ Calculer $I_0$. Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) \quad I_{n} = I_{n-1...

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Exercice INT 88

On considère la suite numérique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) \quad u_n = n \int_1^\pi \frac{\sin x}{x^n} \,dx$ En utilisant une intégration par parties...

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Exercice INT 89

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a; b]$. Justifier que pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$ : $\int_a^b (\lambda f(x) + g(x))^2 \,dx \ge 0$ En déduire que : $\left| \...

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Exercice INT 90

Soit $f$ une fonction continue sur $[0; 1]$ et vérifiant : $\int_0^1 f(t) \,dt = 0$. En utilisant la fonction $\varphi$ définie par : $$\varphi(x) = e^{-x} \int_0^x f(t) \,dt$$ Montrer que : $(\exists...

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Exercice INT 93

On considère la fonction numérique $f$ définie par : $$f(x) = \frac{1}{x} \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}} \text{ si } x \ne 0 \text{ et } f(0)=1$$ Déterminer $D_f$, le domaine de définition de $...

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Exercice INT 91

Soit $f$ une fonction non constante et dérivable sur $[0; 1]$ telle que $f(0) = 0$. On considère la fonction $g$ définie sur $[0; 1]$ par : $$g(x) = (1-x) \int_0^x f(t) \,dt$$ Montrer qu'il exist...

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Exercice INT 92

On considère la suite numérique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) \quad u_n = \int_0^1 e^{\frac{x^2}{n}} \,dx$ Vérifier que : $(\forall x \in [0;1]) \qua...

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Exercice INT 94

On considère la suite numérique $(u_n)_{n \ge 1}$ définie par : $$u_n = \int_1^e x(\ln x)^n \,dx$$ Montrer que $(u_n)_{n \ge 1}$ est positive et décroissante. Montrer que : $(\forall n \in \m...

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Exercice INT 95

Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ on pose : $u_n = \int_0^2 \frac{2t+3}{t+2} e^{\frac{t}{n}} \,dt$ Étudier les variations de la fonction $\varphi$ définie sur $[0; 2]$ par : $\varphi(t) = \frac{2t+3...

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Exercice INT 96

On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_n = \int_0^1 \frac{e^{-t^2}}{1+t+n} \,dt$ Déterminer la monotonie de la suite $(u_n)$ puis montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) \quad u_n \ge 0$ ...

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Exercice INT 97

On considère la suite numérique $(u_n)_{n \ge 1}$ définie par : $$u_n = \int_0^1 \sqrt[n]{1-x^n} \,dx$$ Montrer que $(u_n)_{n \ge 1}$ est croissante. Vérifier que pour t...

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Exercice INT 98

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ on pose : $I_n = \int_0^1 \frac{t^n}{\sqrt{1+t^2}} \,dt$ Calculer la dérivée de la fonction $u$ définie par : $$u(t) = \ln(t+\sqrt{1...

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Exercice INT 99

On considère la suite numérique $(I_n)$ définie par : $$I_n = \int_0^1 x^n \sqrt{1-x} \,dx$$ Calculer $I_0$ et $I_1$. En utilisant le changement $t = \sqrt{1-x}$, montrer que : $$(\forall...

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Exercice INT 100

On pose : $I = \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \frac{\sin t}{t} \,dt$ On considère la fonction $F$ définie sur $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$ par : $$F(x) = \int_{\f...

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Exercice INT 101

On considère la fonction numérique $F$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par : $$F(x) = \int_x^{x+\sqrt{x}} \frac{dt}{t^2 \sqrt{1+t^2}}$$ En utilisant le théorème de la moyenne, calculer les limites suivante...

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Exercice INT 102

En utilisant une intégration par changement de variable, calculer l'intégrale : (poser $t = \arctan u$) \[ I = \int_{\frac{\pi}{3}}^x \frac{2dt}{\sin(2t)(\tan t - 1)} \quad \text{où } x ...

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Exercice INT 103

Le but de cet exercice est de montrer l'irrationalité du nombre $\pi$ (c'est-à-dire : $\pi \notin \mathbb{Q}$) Soit $(u_n)$ une suite numérique à valeurs dans $\mathbb{Z}$. Montrer que la sui...

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Exercice INT 104

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un segment $[a;b]$ telles que : i. $(\forall t \in [a;b]) \quad g(t) \ge 0$. ii. $(\exists M \in \mathbb{R}^+) (\forall t \in [a;b]) \quad |f(t)| \le M$....

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Exercice INT105

Partie A : Par les produits de sinus et sommes de Riemann Pour tout entier $ n \ge 2 $, on note $z_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}}$ les racines $ n $-ièmes de l'unité. Démontrer que $ \prod_{k=1}^{n-...

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