Mathematiques- Bac Marocain

Mathematics at High school

Exercice Su1

Soit $(u_n)_{n\in\Bbb N}$, la suite numérique, définie par: $$u_n=\dfrac{\cos(3n)}{\sqrt n}$$ Vérifer que: $~~(\forall n\in\Bbb N), ~~|u_n| En déduire la limite de la suite $(u_n)_{n\in\Bbb N}...


Exercice Su2

Calculer la limite de chacune des suites suivantes : \( a_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n \sin(n) \) \( b_n = \frac{n - \sin n}{n + \sin n} \) \( c_n = n + 1 - \sin(2n) \) \( d_...


Exercice Su3

On considère la suite \((u_n)_{n \geq 1}\) définie par : \[ u_n = \frac{n}{n^2 + 1} + \frac{n}{n^2 + 2} + \dots + \frac{n}{n^2 + n} \] Montrer que : \( (\forall n \in \mathbb{N}^*) \quad...


Exercice Su4

EXERCICE 08 On considère la suite $(u_n)$ définie par : \[ u_0 = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \frac{2u_n + 1}{u_n + 1} \] Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{...


Exercice Su5

Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : \[ u_0 = 2 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \frac{1}{2}(1 + u_n)^2 \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N} \] Montrer que la suite $(u_n)$ est...


Exercice Su6

On considère la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : \[ u_n = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{n^3} \] Montrer que la suite $(u_n)_{n \ge 1}...


Exercice Su7

Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : \[ u_0 = 1 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \sqrt[3]{3u_n + 1} - 1 \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N} \] Montrer que pour tout $n \in \ma...


Exercice Su8

Soit $(u_n)_{n \geq 1}$ la suite numérique définie par : \[ u_n = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} \] Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $u_...


Exercice Su9

Soit $(u_n)_{n \geq 1}$ la suite numérique définie par : \[ u_n = 1 + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{k^2} + \dots + \frac{1}{n^2} \] Étudier la monotonie de la suite $(u_n)_{n \geq 1}$. ...


Exercice Su10

Montrer que pour tout $x \in ]0, +\infty[$ : \[ \text{Arctan}\left( \frac{1}{1+x+x^2} \right) = \text{Arctan}\left( \frac{1}{x} \right) - \text{Arctan}\left( \frac{1}{1+x} \right) \] P...


Exercice Su11

On considère les suites $(u_n)_{n \geq 1}$ et $(v_n)_{n \geq 1}$ définies par : \[ u_n = 1 + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{n^2} \qquad \text{et} \qquad v_n = u_n + \frac{1}{n} \] Montrer ...


Exercice Su12

On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par : \[ \begin{cases} u_0 = a \\ u_{n+1} = \sqrt{u_n v_n} \end{cases} \qquad \text{et} \qquad \begin{cases} v_0 = 2a \\ v_{n+1} = \frac{u_n + v_n}...


Exercice Su13

Soit $(u_n)_{n \geq 2}$ et $(v_n)_{n \geq 2}$ les suites définies par : \[ u_n = 2^{n+1} \sin \frac{\pi}{2^{n+1}} \quad \text{et} \quad v_n = 2^{n+1} \tan \frac{\pi}{2^{n+1}} \] Montrer que ...


Exercice Su14

Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $b \neq -a$. On considère la suite $(u_n)$ définie par : \[ u_n = \frac{a^n - b^n}{a^n + b^n} \] Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ selon les valeurs...


Exercice Su15

Soit $(u_n)_{n \geq 1}$ la suite numérique définie par : \[ u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} \] Soit $f$ la fo...


Exercice Su16

La Suite Harmonique: Énoncé Soit la suite $(H_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie pour tout $n \geq 1$ par : \[ H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} \] M...


Exercice Su17

Énoncé On considère les suites réelles $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ par: \begin{cases}u_0 &= 1\\\\ v_0 &= 2\end{cases} et: \begin{cases} u_{n+1} &= 4u_n - 2v_n \\ v...


Exercice Su18

On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0 = 1$, $v_0 = 2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ : \[ \begin{cases} u_{n+1} = \frac{1}{3}(2u_n + v_n) \\ v_{n+1} = \frac{1}{3}(u_n + 2v_...


Exercice Su19

Suite arithmético-géométrique : Soient $a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$ et $b \in \mathbb{R}^*$. On considère la suite $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0$ et la relation de récurrence ...


Exercice Su20

Exercice 42 Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on considère la fonction polynôme $P_n$ définie sur $\mathbb{R}^+$ par : \[ P_n(x) = x^n + x^{n-1} + \dots + x^2 + x - 1 \] Montrer que l'équation ...


Exercice Su21

Soit $(u_n)$ une suite croissante et majorée. On pose pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : \[ v_n = \frac{u_1 + u_2 + \dots + u_n}{n} \] Montrer que la suite $(v_n)$ est croissante. En déduire...


Exercice Su22

Problème 1 : Genèse du nombre d'or et suite de Fibonacci L'objectif est de comprendre comment la résolution de l'équation: $$x^2 = x + 1$$ permet de déterminer l'expression explicite de la suit...


exercice Su23

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle définie par ses deux premiers termes $u_0$ et $u_1$, et par la relation de récurrence : \[ \forall n \in \mathbb{N}, \ u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n \...


Exercice Su24

Soit la fonction $f$ définie sur $I = ]1, +\infty[$ par : \[ \begin{align*} f : & ]1, +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \frac{3x - 1}{x + 1}\\ \end{align*} \] On considè...


Exercice LC1

Déterminer la limite en $0$ de : \[ f(x) = \frac{\sqrt{x+4}-2}{x-x^2} \] Déterminer la limite en $1$ de : \[ g(x) = \frac{\sqrt{x^2+3}-2}{x^2+x-2} \] Déterminer la limite en ...


Exercice LC2

Calculer les limites suivantes : \[ \begin{array}{ll} \text{1) } \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{7x} & \text{7) } \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - \sin...


Exercice LC3

Etudier la continuité sur $~\Bbb R~$ des fonctions suivantes: \begin{cases} f(x)=x\sin(\frac{1}{x}) \text{ si } x\neq 0\\\\ f(0)=0 \end{cases} \begin{cases} g(x)=x\cos(\frac{1}{x}) \text{ si...


Exercice LC4

On considère la fonction $f$ définie par : \[ \begin{align*} f : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \begin{cases} f(x) = \dfrac{\sqrt{3 + \cos x} - 2}{x^2} & \text{si } x ...


Exercice LC5

Déterminer le réel $~a~$ pour que la fonction $~f~$ définie par : \[ \begin{cases} f(x) = \dfrac{\cos^3 x - 1}{\sin^2 x} & \text{ si } x \neq 0 \\ \\ f(0) = a & \end{cases} \] Soit cont...


Exercice LC6

Soit $f$ une fonction définie et continue sur l'intervalle $[0, 1]$ à valeurs dans $[0,1]$ : \[ \begin{align*} f : &[0, 1] \longrightarrow [0, 1]\\ &x \longmapsto f(x)\\ \end{align*} \] ...


Exercice LC7

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a, b]$ telles que : \[ f(a) g(b) \] Question : Démontrer qu'il existe au moins un réel $x_0 \in ]a, b[$ tel que $f(x_0) = g(x...


Exercice LC8

Soit $f$ une fonction définie et continue sur $\Bbb R$ telle que: $$(\exists a \in \Bbb R) :\quad f\circ f(a)=a$$ Montrer qu'il existe $~(c\in\Bbb R)~$ tel que: $$f(c)=c$$...


Exercice LC9

Soit $f$ une fonction continue sur $~[a , b]$; et soit $~~\alpha ,\beta~~$ 2 deux réels strictement posistifs tels que: $$\alpha+\beta =1$$ Montrer qu' il existe un réel $~c\in ] a, b[~$ tel qu...


Exercice LC10

Soit $f$ la fonction définie par : \[ \begin{align*} f : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \sqrt{x - E(x)} - x\\ \end{align*} \] Questions : Déterminer $D_...


Exercice LC11

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue en $0$ telle que : \[ \forall x \in \mathbb{R}, f(2x) = f(x) \] Montrer par récurrence que $~(\forall n \in \mathbb{N})~$ et $~(\fora...


Exercice LC12

Théorème des cordes horizontales: Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Soit $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ une fonction continue telle que $f(0) = f(1)$. Démontrer qu'il existe un réel $c \in \left[0, 1 - \frac{...


Exercice LC13

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues de $[0, 1]$ dans $[0, 1]$ telles que $f \circ g = g \circ f$. Montrer que si un réel $a$ est solution de $f(x)=x$, alors $g(a)$ est aussi solution de ce...


Exercice LC14

Valeur moyenne et TVI Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a, b]$, et soient $x_1, x_2, \dots, x_n$ des éléments distincts de $[a, b]$. Montrer qu'il existe un réel $c \in [a, b]$ tel q...


Exercice LC15

Soit $f$ une fonction numérique continue sur $\mathbb{R}$ et telle que : $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = a\quad$ et $\quad \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = b\quad $ avec $\quad ab Montre...


Exercice LC16

Soit $~n\geq 2~$ un entier naturel. On considère la fonction numérique $f$ définie sur $~\mathbb{R}~$ par : \[ f(x) = x^{n+1} - 2x^n + 1 \] Montrer que $f$ est strictement décroissante sur l...


Exercice Su25

Suites extraites: Démontrer que si une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers une limite $\ell$, alors les suites $(u_{2n})_{n \in \mathbb{N}}$ et $(u_{2n+1})_{n \in \mathbb{N}}$ convergent...


Exercice LC16

Soit $f$ une fonction continue et positive sur $\mathbb{R}^+$ telle que : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} Montrer que l'équation $f(x) = x$ admet au moins une solution dans $\mathbb{R}^+$....


Exercice LC17

Étude de la fonction de Thomae : (Pour les meilleurs élèves) Dans tout ce qui suit, l'écriture $x = \frac{p}{q}$ (ou $r_n = \frac{p_n}{q_n}$) désigne la forme irréductible de $x$ avec $q \in \mathb...


Exercice LC18

On considère dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : \[ (E) : x^3 + 3x - 4 = 0 \] Montrer que l'équation $(E)$ admet une solution unique dans $\mathbb{R}$. On pose : $\alpha = \sqrt[3]{\sqr...


Exercice LC19

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}^*$ par : \[ f(x) = x E\left(\frac{1}{x}\right) \] où $E$ désigne la fonction partie entière. Donner le domaine de définition de $f$ ...


Exercice LC20

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ f(x) = \frac{1}{\ln |x|}\\ \] Donner le domaine de définition de $f$ $f$ est-elle prolongeable par continuité aux points -1 et ...


Exercice LC21

On considère, l'intervalle $I=[-1, 1]~$ et $~f~$ la fonction définie sur $~I \setminus \{0\}~$ par : \[ f(x) = \frac{\ln(1+|x|)}{x} \] Montrer que $f$ est impaire sur son domaine de définit...


Exercice LC22

Soit la fonction $f$ définie par : \[ \begin{align*} f : &[0, 1] \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto f(x)\\ \end{align*} \] On suppose que $f$ est continue sur $[0, 1]$ et que: $...


Exercice LC23

Soit la fonction $f$ définie par : \[ \begin{align*} f : [a, b] &\longrightarrow \mathbb{R}\\ x &\longmapsto f(x)\\ \end{align*} \] On suppose que $f$ est continue sur $[a, b]$ et que: $...


Exercice D1

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ \begin{align*} f : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^+\\ &x \longmapsto |x|\\ \end{align*} \] Représenter la fonct...


Exercice D2

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ \begin{align*} f : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto x|x|\\ \end{align*} \] Représenter graphique...


Exercice D3

On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ h(x) = \begin{cases} x^2(x - 1) & \text{si } x \in [0, 1] \\ 0 & \text{ailleur }\end{cases} \] Ét...


Exercice D4

On considère la fonction $f$ définie par : \[ \begin{align*} f : &D_f \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)\\ \end{align*} \] Déterminer le domaine d...


Exercice D5

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ \begin{align*} f : &\mathbb{R} \longrightarrow ]-1, 1[\\ &x \longmapsto \frac{x}{1 + |x|}\\ \end{align*} \] Montrer que ...


Exercice D6

Calculer en utilisant les formules de moivre: $~~f(x)=\sum\limits_{k=1}^n{\sin(kx)}$ En déduire: $~~g(x)=\sum\limits_{k=1}^n{k\cos(kx)}$ Calculer: $~~\sum\limits_{k=1}^n{kx^{k-1}}$ En...


Exercice D7

Soit $~f~$ une fonction dérivable en un point $~x_0$. Montrer que : \[ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{2h} = f'(x_0) \] Calculer la limite en $~x_0~$ de:...


Exercice D8

Soit $a$ un réel quelconque. Partie 1 Montrer que : \[ \lim_{x \to a} \frac{\arctan x - \arctan a}{x - a} = \frac{1}{1 + a^2} \] Partie 2 En déduire les valeurs des...


Exercice D9

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par : \[ \begin{cases} f(x) = x \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) & \text{si } x \in ]0;1] \\\\ f(0) = 0 \end{cases} \] Soit $n$ u...


Exercice D10

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. Soient $x_1$, $x_2$ et $x_3$ trois éléments distincts de $I$ tels que : \[ 2f(x_2) = f(x_1) + f(x...


Exercice D11

Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$ et deux fois dérivable sur $]a, b[$. On suppose que : \[ f(a) = f(b) = 0 \quad \text{et} \quad \forall x \in ]a, b[, f'(x) \n...


Exercice D12

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[a, b]$ telle que $f(a) = f(b)$ et $f'(a) = 0$. On considère la fonction auxiliaire $g$ définie sur $]a, b]$ par : \[ g(x)...


Exercice D13

Calculer les dérivées des fonctions suivantes : $x \longmapsto \sqrt{1 + x^2 \sin^2 x}$ $x \longmapsto \frac{\exp(1/x) + 1}{\exp(1/x) - 1}$ $x ...


Exercice D14

Soient $a$ et $b$ deux réels et $n \in \mathbb{N}^*$. On considère la fonction : \[ f(x) = (x - a)^n (x - b)^n \] Calculer la dérivée n-ième $f^{(n)}(x)$. En...


Exercice D15

Soit $n \in \mathbb{N}$. On pose: \begin{align*} \Bbb R^{\ast}&\longrightarrow \Bbb R \\\\ x &\longmapsto x^n e^{1/x} \end{align*} On désigne par f^{n} la dérivée d'ordre n de $f$. Montrer...


Exercice D16

On considère la fonction $g$ définie sur $~\Bbb R~$ par: $$g(x)=x^2e^x$$ Approche par la formule de Leibnitz: Calculer $g^{'}(x)$ et $g^{''}(x)$ En utilisant la formule de Leibnitz calcuer $~g...


Exercice D17

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ \begin{align*} f : & \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ & x \longmapsto \sqrt[3]{x+8} \\ \end{align*} \] Justifier que $f$ ...


Exercice D18

On pose: $$f(x)=(1+x)^7 \qquad g(x)=(1+x)^{-7}$$ Donner les expressions de la dérivée de $f$ et de $g$. En déduire des approximation afines des nombres, $~1.001^7~$ et $~1,001^{-7}$. Comparer ...


Exercice D19

Montrer que la fonction $f$ définie par : \[ \begin{align*} f : & \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ & x \longmapsto (2x-1)^{7} \end{align*} \] ...


Exercice D20

Soit $~f~$ la fonction définie par : \[ \begin{align*} f : & \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ & x \longmapsto x^2 - 4x \end{align*} \] On considère les points $A(1, -3)$ et $B(4, 0...


Exercice D21

Soit $g$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ telle que : \[ \lim\limits_{x \to 0} \frac{g(2x) - g(x)}{x} = \ell \] Questions Montrer qu'il existe une fonction $\varphi$ telle que: $$g(...


Exercice D22

Étudier la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ f(x) = x^5 - 5x + 1 \] En déduire que l'équation $~x^5 - 5x + 1 = 0~$ admet exactement trois solutions réelles....


Exercice D23

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls et $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $n\geq 4$. Considérons le polynôme suivant: $$P(X)=X^n + aX + b$$ On se propose de montrer que ce polynome admet au p...


Exercice D24

Calcul de la limite d'un produit infini 1. Vérifier que: $$\dfrac{t^2}{1+t} = \dfrac{1}{1+t} - (1-t)$$ En intégrant cette égalité prouver que pour $~x \geq 0$ on a : \...


Exercice D25

I. Étude locale et comportement de la fonction Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x) = x - \ln(1+x^2)$$ On note $\mathcal{C}_f~$ sa courbe représentative. Vérifier...


Exercice D26

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb R$ telle que $~f(0) = 0~$. Montrer que la suite définie par: $$S_n = \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n^2}\right)$$ admet une limite lors...


Exercie D27

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on considère le polynôme défini par : \[ e_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} \] Montrer par récurrence sur $n \in \mathbb{N}^*$ que toutes les racines de $e_n$ dan...


Exercice Ln1

Soient $a, b$ et $c$ trois réels strictement positifs. On pose: $~A = \ln a$, $\quad B = \ln b\quad $ et $\quad C = \ln c$. Exprimer les expressions suivantes en fonction de $A, B$ et $C$ : ...


Exercice Ln2

Simplifier au maximum les expressions réelles suivantes : $\mathcal{A} = \ln\left(7 + 4\sqrt{3}\right)^{15} + \ln\left(7 - 4\sqrt{3}\right)^{15} $ $ \mathcal{B}...


Exercice Ln3

Soient $x, y$ et $z$ trois réels strictement positifs. On pose $X = \ln x$, $\quad Y = \ln y\quad $ et $\quad Z = \ln z$. Exprimer les expressions suivantes en fonction de $X, Y$ et $Z$ : ...


Exercice Ln4

Déterminer le domaine de définition et résoudre les équations suivantes $ \ln(x+3) + \ln(x+2) = \ln(x+11) $ $ \ln(x^2 - 4x + 3) = \ln(2x - 5) $ $2\ln(x) = \ln(x+4) + \l...


Exercice Ln5

Résoudre les équations suivantes : $ (\ln x)^2 - 5\ln x + 6 = 0 $ $2(\ln x)^2 + \ln x - 3 = 0 $ $\ln x + \frac{2}{\ln x} = 3 $ ...


Exercice Ln6

Résoudre les équations suivantes en prêtant une attention particulière aux propriétés de la fonction $\ln$ : $\ln|x-1| + \ln|x+1| = \ln(3) $ $\ln(\sqrt{2x-1}) = 1$ $\ln(...


Exercice Ln7

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Démontrer que $\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$. En déduire que $\frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab}$. Montrer que ces résultats peuvent s'éc...


Exercice Ln8

Soient $a,b>0~$ Soient $~p,q~$ 2 réels strictement positifs conjugués c'est-à-dire : $$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$$ Soient $~(x_i:~i=1\cdots,n),~$ des nombres strictement positifs. En...


Exercice Ln9

Inégalité de Bernoulli et convexité Soit $\alpha \geq 1$. On considère la fonction $f$ : \begin{align*} f : &]-1, +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto (1+x)^\alpha\\ \end{align*}...


Exercice LN10

Tangentes et Convexité Démontrer, à l'aide du TAF, que si $f$ est convexe sur son domaine de définition, alors sa courbe est au-dessus de ses tangentes. En déduire que pour tout réel, $~x$...


Exercice Ln11

On considère la fonction $f$ définie sur $]1; +\infty[$ par : \[ \begin{align*} f : &]1; +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \ln(\ln x)\\ \end{align*} \] Étudier les vari...


Exercice Ln12

Soit $~n\in\Bbb N^{\ast}~$, et soit $f_n$, la fonction définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par : \[ f_n(x) = x - n \ln x \] Calculer les limites : $\lim\limits_{x \to ...


Exercice Ln13

On considère la suite numérique $(u_n)_{n \ge 2}$ définie par : \[ u_n = \sum_{k=2}^{n} \ln\left(1 - \frac{1}{k^2}\right) \] Montrer que : \[ (\forall n \ge 2) \quad u_n = \ln\left( \f...


Exercice Ln14

Soit la fonction numérique $~f~$ définie par : \[ \begin{align*} f : &D_f \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \frac{x}{\sqrt{2 - \ln^2 x}}\\ \end{align*} \] Déterminer...


Exercice Ln15

On se propose de démontrer que la fonction $~log(x)~$ ne peut pas s'écrire comme fraction rationnelle. Supposons par l'absurde qu'il existe Deux fonctions polynomiales $P(x)$ et $Q(x)$ tels que: ...


Exercice Ln16

Soient $~f,g~$ et $~h~$ 3 fonctions définies par: \begin{align*} f : D_f &\longrightarrow \mathbb{R}\\ x &\longmapsto x^{\frac{1}{x}}\\ \end{align*} \begin{align*} g: D_g &\longrightar...