Mathematiques- Bac Marocain

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Analyse
Calcul intégral Dérivation et étude de fonctions Fonctions exponentielles Fonctions logarithmes Limites et Continuité Suites numériques

Exercice Su1

Soit $(u_n)_{n\in\Bbb N}$, la suite numérique, définie par: $$u_n=\dfrac{\cos(3n)}{\sqrt n}$$ Vérifer que: $~~(\forall n\in\Bbb N), ~~|u_n| En déduire la limite de la suite $(u_n)_{n\in\Bbb N}...

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Exercice Su2

Calculer la limite de chacune des suites suivantes : \( a_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n \sin(n) \) \( b_n = \frac{n - \sin n}{n + \sin n} \) \( c_n = n + 1 - \sin(2n) \) \( d_...

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Exercice Su3

On considère la suite \((u_n)_{n \geq 1}\) définie par : \[ u_n = \frac{n}{n^2 + 1} + \frac{n}{n^2 + 2} + \dots + \frac{n}{n^2 + n} \] Montrer que : \( (\forall n \in \mathbb{N}^*) \quad...

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Exercice Su4

EXERCICE 08 On considère la suite $(u_n)$ définie par : \[ u_0 = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \frac{2u_n + 1}{u_n + 1} \] Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{...

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Exercice Su5

Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : \[ u_0 = 2 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \frac{1}{2}(1 + u_n)^2 \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N} \] Montrer que la suite $(u_n)$ est...

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Exercice Su6

On considère la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : \[ u_n = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{n^3} \] Montrer que la suite $(u_n)_{n \ge 1}...

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Exercice Su7

Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : \[ u_0 = 1 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \sqrt[3]{3u_n + 1} - 1 \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N} \] Montrer que pour tout $n \in \ma...

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Exercice Su8

Soit $(u_n)_{n \geq 1}$ la suite numérique définie par : \[ u_n = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} \] Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $u_...

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Exercice Su9

Soit $(u_n)_{n \geq 1}$ la suite numérique définie par : \[ u_n = 1 + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{k^2} + \dots + \frac{1}{n^2} \] Étudier la monotonie de la suite $(u_n)_{n \geq 1}$. ...

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Exercice Su10

Montrer que pour tout $x \in ]0, +\infty[$ : \[ \text{Arctan}\left( \frac{1}{1+x+x^2} \right) = \text{Arctan}\left( \frac{1}{x} \right) - \text{Arctan}\left( \frac{1}{1+x} \right) \] P...

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Exercice Su11

On considère les suites $(u_n)_{n \geq 1}$ et $(v_n)_{n \geq 1}$ définies par : \[ u_n = 1 + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{n^2} \qquad \text{et} \qquad v_n = u_n + \frac{1}{n} \] Montrer ...

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Exercice Su12

On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par : \[ \begin{cases} u_0 = a \\ u_{n+1} = \sqrt{u_n v_n} \end{cases} \qquad \text{et} \qquad \begin{cases} v_0 = 2a \\ v_{n+1} = \frac{u_n + v_n}...

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Exercice Su13

Soit $(u_n)_{n \geq 2}$ et $(v_n)_{n \geq 2}$ les suites définies par : \[ u_n = 2^{n+1} \sin \frac{\pi}{2^{n+1}} \quad \text{et} \quad v_n = 2^{n+1} \tan \frac{\pi}{2^{n+1}} \] Montrer que ...

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Exercice Su14

Soit $a$ et $b$ deux réels tels que $b \neq -a$. On considère la suite $(u_n)$ définie par : \[ u_n = \frac{a^n - b^n}{a^n + b^n} \] Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ selon les valeurs...

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Exercice Su15

Soit $(u_n)_{n \geq 1}$ la suite numérique définie par : \[ u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} \] Soit $f$ la fo...

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Exercice Su16

La Suite Harmonique: Énoncé Soit la suite $(H_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie pour tout $n \geq 1$ par : \[ H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} \] M...

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Exercice Su17

Énoncé On considère les suites réelles $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ par: \begin{cases}u_0 &= 1\\\\ v_0 &= 2\end{cases} et: \begin{cases} u_{n+1} &= 4u_n - 2v_n \\ v...

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Exercice Su18

On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0 = 1$, $v_0 = 2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ : \[ \begin{cases} u_{n+1} = \frac{1}{3}(2u_n + v_n) \\ v_{n+1} = \frac{1}{3}(u_n + 2v_...

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Exercice Su19

Suite arithmético-géométrique : Soient $a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$ et $b \in \mathbb{R}^*$. On considère la suite $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0$ et la relation de récurrence ...

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Exercice Su20

Exercice 42 Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on considère la fonction polynôme $P_n$ définie sur $\mathbb{R}^+$ par : \[ P_n(x) = x^n + x^{n-1} + \dots + x^2 + x - 1 \] Montrer que l'équation ...

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Exercice Su21

Soit $(u_n)$ une suite croissante et majorée. On pose pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : \[ v_n = \frac{u_1 + u_2 + \dots + u_n}{n} \] Montrer que la suite $(v_n)$ est croissante. En déduire...

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Exercice Su22

Problème 1 : Genèse du nombre d'or et suite de Fibonacci L'objectif est de comprendre comment la résolution de l'équation: $$x^2 = x + 1$$ permet de déterminer l'expression explicite de la suit...

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exercice Su23

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle définie par ses deux premiers termes $u_0$ et $u_1$, et par la relation de récurrence : \[ \forall n \in \mathbb{N}, \ u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n \...

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Exercice Su24

Soit la fonction $f$ définie sur $I = ]1, +\infty[$ par : \[ \begin{align*} f : & ]1, +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \frac{3x - 1}{x + 1}\\ \end{align*} \] On considè...

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Exercice LC1

Déterminer la limite en $0$ de : \[ f(x) = \frac{\sqrt{x+4}-2}{x-x^2} \] Déterminer la limite en $1$ de : \[ g(x) = \frac{\sqrt{x^2+3}-2}{x^2+x-2} \] Déterminer la limite en ...

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Exercice LC2

Calculer les limites suivantes : \[ \begin{array}{ll} \text{1) } \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{7x} & \text{7) } \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - \sin...

Limites et Continuité Posted by admin on Sat Jan 24 2026

Exercice LC3

Etudier la continuité sur $~\Bbb R~$ des fonctions suivantes: \begin{cases} f(x)=x\sin(\frac{1}{x}) \text{ si } x\neq 0\\\\ f(0)=0 \end{cases} \begin{cases} g(x)=x\cos(\frac{1}{x}) \text{ si...

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Exercice LC4

On considère la fonction $f$ définie par : \[ \begin{align*} f : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \begin{cases} f(x) = \dfrac{\sqrt{3 + \cos x} - 2}{x^2} & \text{si } x ...

Limites et Continuité Posted by admin on Sat Jan 24 2026

Exercice LC5

Déterminer le réel $~a~$ pour que la fonction $~f~$ définie par : \[ \begin{cases} f(x) = \dfrac{\cos^3 x - 1}{\sin^2 x} & \text{ si } x \neq 0 \\ \\ f(0) = a & \end{cases} \] Soit cont...

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Exercice LC6

Soit $f$ une fonction définie et continue sur l'intervalle $[0, 1]$ à valeurs dans $[0,1]$ : \[ \begin{align*} f : &[0, 1] \longrightarrow [0, 1]\\ &x \longmapsto f(x)\\ \end{align*} \] ...

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Exercice LC7

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a, b]$ telles que : \[ f(a) g(b) \] Question : Démontrer qu'il existe au moins un réel $x_0 \in ]a, b[$ tel que $f(x_0) = g(x...

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Exercice LC8

Soit $f$ une fonction définie et continue sur $\Bbb R$ telle que: $$(\exists a \in \Bbb R) :\quad f\circ f(a)=a$$ Montrer qu'il existe $~(c\in\Bbb R)~$ tel que: $$f(c)=c$$...

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Exercice LC9

Soit $f$ une fonction continue sur $~[a , b]$; et soit $~~\alpha ,\beta~~$ 2 deux réels strictement posistifs tels que: $$\alpha+\beta =1$$ Montrer qu' il existe un réel $~c\in ] a, b[~$ tel qu...

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Exercice LC10

Soit $f$ la fonction définie par : \[ \begin{align*} f : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \sqrt{x - E(x)} - x\\ \end{align*} \] Questions : Déterminer $D_...

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Exercice LC11

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue en $0$ telle que : \[ \forall x \in \mathbb{R}, f(2x) = f(x) \] Montrer par récurrence que $~(\forall n \in \mathbb{N})~$ et $~(\fora...

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Exercice LC12

Théorème des cordes horizontales: Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Soit $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ une fonction continue telle que $f(0) = f(1)$. Démontrer qu'il existe un réel $c \in \left[0, 1 - \frac{...

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Exercice LC13

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues de $[0, 1]$ dans $[0, 1]$ telles que $f \circ g = g \circ f$. Montrer que si un réel $a$ est solution de $f(x)=x$, alors $g(a)$ est aussi solution de ce...

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Exercice LC14

Valeur moyenne et TVI Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a, b]$, et soient $x_1, x_2, \dots, x_n$ des éléments distincts de $[a, b]$. Montrer qu'il existe un réel $c \in [a, b]$ tel q...

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Exercice LC15

Soit $f$ une fonction numérique continue sur $\mathbb{R}$ et telle que : $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = a\quad$ et $\quad \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = b\quad $ avec $\quad ab Montre...

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Exercice LC16

Soit $~n\geq 2~$ un entier naturel. On considère la fonction numérique $f$ définie sur $~\mathbb{R}~$ par : \[ f(x) = x^{n+1} - 2x^n + 1 \] Montrer que $f$ est strictement décroissante sur l...

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Exercice Su25

Suites extraites: Démontrer que si une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers une limite $\ell$, alors les suites $(u_{2n})_{n \in \mathbb{N}}$ et $(u_{2n+1})_{n \in \mathbb{N}}$ convergent...

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Exercice LC16

Soit $f$ une fonction continue et positive sur $\mathbb{R}^+$ telle que : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} Montrer que l'équation $f(x) = x$ admet au moins une solution dans $\mathbb{R}^+$....

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Exercice LC17

Étude de la fonction de Thomae : (Pour les meilleurs élèves) Dans tout ce qui suit, l'écriture $x = \frac{p}{q}$ (ou $r_n = \frac{p_n}{q_n}$) désigne la forme irréductible de $x$ avec $q \in \mathb...

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Exercice LC18

On considère dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : \[ (E) : x^3 + 3x - 4 = 0 \] Montrer que l'équation $(E)$ admet une solution unique dans $\mathbb{R}$. On pose : $\alpha = \sqrt[3]{\sqr...

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Exercice LC19

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}^*$ par : \[ f(x) = x E\left(\frac{1}{x}\right) \] où $E$ désigne la fonction partie entière. Donner le domaine de définition de $f$ ...

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Exercice LC20

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ f(x) = \frac{1}{\ln |x|}\\ \] Donner le domaine de définition de $f$ $f$ est-elle prolongeable par continuité aux points -1 et ...

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Exercice LC21

On considère, l'intervalle $I=[-1, 1]~$ et $~f~$ la fonction définie sur $~I \setminus \{0\}~$ par : \[ f(x) = \frac{\ln(1+|x|)}{x} \] Montrer que $f$ est impaire sur son domaine de définit...

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Exercice LC22

Soit la fonction $f$ définie par : \[ \begin{align*} f : &[0, 1] \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto f(x)\\ \end{align*} \] On suppose que $f$ est continue sur $[0, 1]$ et que: $...

Limites et Continuité Posted by admin on Sat Jan 24 2026

Exercice LC23

Soit la fonction $f$ définie par : \[ \begin{align*} f : [a, b] &\longrightarrow \mathbb{R}\\ x &\longmapsto f(x)\\ \end{align*} \] On suppose que $f$ est continue sur $[a, b]$ et que: $...

Limites et Continuité Posted by admin on Sat Jan 24 2026

Exercice D1

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ \begin{align*} f : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^+\\ &x \longmapsto |x|\\ \end{align*} \] Représenter la fonct...

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Exercice D2

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ \begin{align*} f : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto x|x|\\ \end{align*} \] Représenter graphique...

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Exercice D3

On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ h(x) = \begin{cases} x^2(x - 1) & \text{si } x \in [0, 1] \\ 0 & \text{ailleur }\end{cases} \] Ét...

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Exercice D4

On considère la fonction $f$ définie par : \[ \begin{align*} f : &D_f \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)\\ \end{align*} \] Déterminer le domaine d...

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Exercice D5

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ \begin{align*} f : &\mathbb{R} \longrightarrow ]-1, 1[\\ &x \longmapsto \frac{x}{1 + |x|}\\ \end{align*} \] Montrer que ...

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Exercice D6

Calculer en utilisant les formules de moivre: $~~f(x)=\sum\limits_{k=1}^n{\sin(kx)}$ En déduire: $~~g(x)=\sum\limits_{k=1}^n{k\cos(kx)}$ Calculer: $~~\sum\limits_{k=1}^n{kx^{k-1}}$ En...

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Exercice D7

Soit $~f~$ une fonction dérivable en un point $~x_0$. Montrer que : \[ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{2h} = f'(x_0) \] Calculer la limite en $~x_0~$ de:...

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Exercice D8

Soit $a$ un réel quelconque. Partie 1 Montrer que : \[ \lim_{x \to a} \frac{\arctan x - \arctan a}{x - a} = \frac{1}{1 + a^2} \] Partie 2 En déduire les valeurs des...

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Exercice D9

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par : \[ \begin{cases} f(x) = x \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) & \text{si } x \in ]0;1] \\\\ f(0) = 0 \end{cases} \] Soit $n$ u...

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Exercice D10

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. Soient $x_1$, $x_2$ et $x_3$ trois éléments distincts de $I$ tels que : \[ 2f(x_2) = f(x_1) + f(x...

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Exercice D11

Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$ et deux fois dérivable sur $]a, b[$. On suppose que : \[ f(a) = f(b) = 0 \quad \text{et} \quad \forall x \in ]a, b[, f'(x) \n...

Dérivation et étude de fonctions Posted by admin on Sat Jan 24 2026

Exercice D12

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[a, b]$ telle que $f(a) = f(b)$ et $f'(a) = 0$. On considère la fonction auxiliaire $g$ définie sur $]a, b]$ par : \[ g(x)...

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Exercice D13

Calculer les dérivées des fonctions suivantes : $x \longmapsto \sqrt{1 + x^2 \sin^2 x}$ $x \longmapsto \frac{\exp(1/x) + 1}{\exp(1/x) - 1}$ $x ...

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Exercice D14

Soient $a$ et $b$ deux réels et $n \in \mathbb{N}^*$. On considère la fonction : \[ f(x) = (x - a)^n (x - b)^n \] Calculer la dérivée n-ième $f^{(n)}(x)$. En...

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Exercice D15

Soit $n \in \mathbb{N}$. On pose: \begin{align*} \Bbb R^{\ast}&\longrightarrow \Bbb R \\\\ x &\longmapsto x^n e^{1/x} \end{align*} On désigne par f^{n} la dérivée d'ordre n de $f$. Montrer...

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Exercice D16

On considère la fonction $g$ définie sur $~\Bbb R~$ par: $$g(x)=x^2e^x$$ Approche par la formule de Leibnitz: Calculer $g^{'}(x)$ et $g^{''}(x)$ En utilisant la formule de Leibnitz calcuer $~g...

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Exercice D17

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ \begin{align*} f : & \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ & x \longmapsto \sqrt[3]{x+8} \\ \end{align*} \] Justifier que $f$ ...

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Exercice D18

On pose: $$f(x)=(1+x)^7 \qquad g(x)=(1+x)^{-7}$$ Donner les expressions de la dérivée de $f$ et de $g$. En déduire des approximation afines des nombres, $~1.001^7~$ et $~1,001^{-7}$. Comparer ...

Dérivation et étude de fonctions Posted by admin on Sat Jan 24 2026

Exercice D19

Montrer que la fonction $f$ définie par : \[ \begin{align*} f : & \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ & x \longmapsto (2x-1)^{7} \end{align*} \] ...

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Exercice D20

Soit $~f~$ la fonction définie par : \[ \begin{align*} f : & \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \\ & x \longmapsto x^2 - 4x \end{align*} \] On considère les points $A(1, -3)$ et $B(4, 0...

Dérivation et étude de fonctions Posted by admin on Sat Jan 24 2026

Exercice D21

Soit $g$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ telle que : \[ \lim\limits_{x \to 0} \frac{g(2x) - g(x)}{x} = \ell \] Questions Montrer qu'il existe une fonction $\varphi$ telle que: $$g(...

Dérivation et étude de fonctions Posted by admin on Sat Jan 24 2026

Exercice D22

Étudier la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ f(x) = x^5 - 5x + 1 \] En déduire que l'équation $~x^5 - 5x + 1 = 0~$ admet exactement trois solutions réelles....

Dérivation et étude de fonctions Posted by admin on Sat Jan 24 2026

Exercice D23

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls et $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $n\geq 4$. Considérons le polynôme suivant: $$P(X)=X^n + aX + b$$ On se propose de montrer que ce polynome admet au p...

Dérivation et étude de fonctions Posted by admin on Sat Jan 24 2026

Exercice D24

Calcul de la limite d'un produit infini 1. Vérifier que: $$\dfrac{t^2}{1+t} = \dfrac{1}{1+t} - (1-t)$$ En intégrant cette égalité prouver que pour $~x \geq 0$ on a : \...

Dérivation et étude de fonctions Posted by admin on Sat Jan 24 2026

Exercice D25

I. Étude locale et comportement de la fonction Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x) = x - \ln(1+x^2)$$ On note $\mathcal{C}_f~$ sa courbe représentative. Vérifier...

Dérivation et étude de fonctions Posted by admin on Sat Jan 24 2026

Exercice D26

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb R$ telle que $~f(0) = 0~$. Montrer que la suite définie par: $$S_n = \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n^2}\right)$$ admet une limite lors...

Dérivation et étude de fonctions Posted by admin on Sat Jan 24 2026

Exercie D27

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on considère le polynôme défini par : \[ e_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} \] Montrer par récurrence sur $n \in \mathbb{N}^*$ que toutes les racines de $e_n$ dan...

Dérivation et étude de fonctions Posted by admin on Sat Jan 24 2026

Exercice Ln1

Soient $a, b$ et $c$ trois réels strictement positifs. On pose: $~A = \ln a$, $\quad B = \ln b\quad $ et $\quad C = \ln c$. Exprimer les expressions suivantes en fonction de $A, B$ et $C$ : ...

Fonctions logarithmes Posted by admin on Sat Jan 24 2026

Exercice Ln2

Simplifier au maximum les expressions réelles suivantes : $\mathcal{A} = \ln\left(7 + 4\sqrt{3}\right)^{15} + \ln\left(7 - 4\sqrt{3}\right)^{15} $ $ \mathcal{B}...

Fonctions logarithmes Posted by admin on Sat Jan 24 2026

Exercice Ln3

Soient $x, y$ et $z$ trois réels strictement positifs. On pose $X = \ln x$, $\quad Y = \ln y\quad $ et $\quad Z = \ln z$. Exprimer les expressions suivantes en fonction de $X, Y$ et $Z$ : ...

Fonctions logarithmes Posted by admin on Sat Jan 24 2026

Exercice Ln4

Déterminer le domaine de définition et résoudre les équations suivantes $ \ln(x+3) + \ln(x+2) = \ln(x+11) $ $ \ln(x^2 - 4x + 3) = \ln(2x - 5) $ $2\ln(x) = \ln(x+4) + \l...

Fonctions logarithmes Posted by admin on Sat Jan 24 2026

Exercice Ln5

Résoudre les équations suivantes : $ (\ln x)^2 - 5\ln x + 6 = 0 $ $2(\ln x)^2 + \ln x - 3 = 0 $ $\ln x + \frac{2}{\ln x} = 3 $ ...

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Exercice Ln6

Résoudre les équations suivantes en prêtant une attention particulière aux propriétés de la fonction $\ln$ : $\ln|x-1| + \ln|x+1| = \ln(3) $ $\ln(\sqrt{2x-1}) = 1$ $\ln(...

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Exercice Ln7

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Démontrer que $\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$. En déduire que $\frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab}$. Montrer que ces résultats peuvent s'éc...

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Exercice Ln8

Soient $a,b>0~$ Soient $~p,q~$ 2 réels strictement positifs conjugués c'est-à-dire : $$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$$ Soient $~(x_i:~i=1\cdots,n),~$ des nombres strictement positifs. En...

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Exercice Ln9

Inégalité de Bernoulli et convexité Soit $\alpha \geq 1$. On considère la fonction $f$ : \begin{align*} f : &]-1, +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto (1+x)^\alpha\\ \end{align*}...

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Exercice LN10

Tangentes et Convexité Démontrer, à l'aide du TAF, que si $f$ est convexe sur son domaine de définition, alors sa courbe est au-dessus de ses tangentes. En déduire que pour tout réel, $~x$...

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Exercice Ln11

On considère la fonction $f$ définie sur $]1; +\infty[$ par : \[ \begin{align*} f : &]1; +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \ln(\ln x)\\ \end{align*} \] Étudier les vari...

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Exercice Ln12

Soit $~n\in\Bbb N^{\ast}~$, et soit $f_n$, la fonction définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par : \[ f_n(x) = x - n \ln x \] Calculer les limites : $\lim\limits_{x \to ...

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Exercice Ln13

On considère la suite numérique $(u_n)_{n \ge 2}$ définie par : \[ u_n = \sum_{k=2}^{n} \ln\left(1 - \frac{1}{k^2}\right) \] Montrer que : \[ (\forall n \ge 2) \quad u_n = \ln\left( \f...

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Exercice Ln14

Soit la fonction numérique $~f~$ définie par : \[ \begin{align*} f : &D_f \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \frac{x}{\sqrt{2 - \ln^2 x}}\\ \end{align*} \] Déterminer...

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Exercice Ln15

On se propose de démontrer que la fonction $~log(x)~$ ne peut pas s'écrire comme fraction rationnelle. Supposons par l'absurde qu'il existe Deux fonctions polynomiales $P(x)$ et $Q(x)$ tels que: ...

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Exercice Ln16

Soient $~f,g~$ et $~h~$ 3 fonctions définies par: \begin{align*} f : D_f &\longrightarrow \mathbb{R}\\ x &\longmapsto x^{\frac{1}{x}}\\ \end{align*} \begin{align*} g: D_g &\longrightar...

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