On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0 = 1$, $v_0 = 2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ : \[ \begin{cases} u_{n+1} = \frac{1}{3}(2u_n + v_n) \\ v_{n+1} = \frac{1}{3}(u_n + 2v_n) \end{cases} \]
  1. On introduit les deux combinaisons linéaires suivantes : \[ s_n = u_n + v_n \quad \text{et} \quad d_n = u_n - v_n \]
    1. Montrer que la suite $(s_n)$ est constante. Préciser sa valeur.
    2. Montrer que la suite $(d_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
    3. Exprimer $s_n$ et $d_n$ en fonction de $n$.
    4. En déduire les expressions de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.
    5. Déterminer les limites des suites $(u_n)$ et $(v_n)$.
  2. Étude matricielle :
    Posons: $$A = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\qquad \text{et}\qquad J = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$
    1. Vérifier que $A = \frac{1}{3}I + \frac{1}{3}J$ (où $I$ est la matrice identité d'ordre 2).
    2. Calculer $J^2$. En déduire par récurrence que pour tout $k \geq 1$, $J^k = 2^{k-1}J$.
    3. En utilisant la formule du binôme de Newton sur $A = \frac{1}{3}(I + J)$, Montrer que: \[ A^n = \frac{1}{3^n} I + \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{3^n}\right) J \].
    4. Retrouver les expressions de $u_n$ et $v_n$ à l'aide de la relation $X_n = A^n X_0$.