On considère la suite numérique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) \quad u_n = \int_0^1 e^{\frac{x^2}{n}} \,dx$
  1. Vérifier que : $(\forall x \in [0;1]) \quad 1 \le e^{\frac{x^2}{n}} \le e^{\frac{1}{n}}$
  2. En déduire que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est convergente et déterminer sa limite.
  3. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, il existe un réel $c_n \in [0,1]$ tel que : $c_n^2 = n \ln u_n$