Calcul de la limite d'un produit infini

1. 1. Vérifier que:
2. $$\dfrac{t^2}{1+t} = \dfrac{1}{1+t} - (1-t)$$
En intégrant cette égalité prouver que pour $~x \geq 0$ on a : \[ x - \frac{x^2}{2} \leq \log(1+x) \]
3. En utilisant le théorème des accroissment montrer que: $$\log(1+x)\geq x$$
4. 2. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. En posant $x = \frac{k}{n}$ pour $1 \leq k \leq n$, établir l'encadrement suivant : \[ \frac{k}{n} - \frac{k^2}{2n^2} \leq \log\left(1 + \frac{k}{n}\right) \leq \frac{k}{n} \]
5. Montrer alors que: $$\lim\limits_{n\to \infty}\prod\limits_{k=1}^n{(1+\frac{k}{n})}$$

II. Divergence de la somme harmonique

On appelle somme harmonique la suite $H_n $ définie par: $$H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$$ la somme harmonique.

1. Vérifier que: $$\log(1 + \frac{1}{k}) = \log(k+1) - \log(k)$$
2. Montrer en utilisant le théorème des accroissements finis que pour tout $~k \geq 1$ : \[ \frac{1}{k+1} \leq \log(k+1) - \log(k) \leq \frac{1}{k} \]
3. Déduire alors que l'on a : \[ H_n \geq \log(n+1) \]
4. Déduire $~~\lim\limits_{n \to +\infty}{H_n}$.

Convergence de la constante d'Euler

On considère la suite $(\gamma_n)$ définie par $$\gamma_n = H_n - \log(n)$$

1. Déduire de ce qui précède que: $$\gamma_n=H_n-\log(n)\leq 1$$
2. Montrer que: $$\gamma_{n+1} -\gamma_n=\dfrac{1}{n+1}-\log(1+\dfrac{1}{n})$$
3. Montrer alors que la suite $\gamma_n$ est décroissante.
4. Conclure quant à la convergence de la suite $y_n$.

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