Suite arithmético-géométrique :

Soient $a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$ et $b \in \mathbb{R}^*$. On considère la suite $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0$ et la relation de récurrence $u_{n+1} = au_n + b$.

1. Méthode 1 : Approche par le point fixe
   1. Déterminer l'unique réel $\alpha$ tel que $\alpha = a\alpha + b$.
   2. On pose $v_n = u_n - \alpha$. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $a$.
   3. En déduire l'expression de $v_n$, puis celle de $u_n$ en fonction de $n, u_0, a$ et $\alpha$.
2. Méthode 2 : Approche par itération et sommation
   1. Exprimer successivement $u_1, u_2, u_3$ et $u_4$ en fonction de $a, b$ et $u_0$.
   2. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : \[ u_n = a^n u_0 + b \sum_{k=0}^{n-1} a^k \]
   3. Retrouver l'expression explicite de $u_n$.
3. Application :
   On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = 2u_n + 3$.
   1. Déterminer la valeur du point fixe $\alpha$ associé à cette suite.
   2. Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.