Problème 1 : Genèse du nombre d'or et suite de Fibonacci
L'objectif est de comprendre comment la résolution de l'équation: $$x^2 = x + 1$$ permet de déterminer l'expression explicite de la suite de Fibonacci définie par : \[ u_0 = 0, \quad u_1 = 1 \qquad \text{et} \qquad \ u_{n+2} = u_{n+1} + u_n\quad , \quad n\geq 0\]
- Étude d'une suite géométrique particulière
- Soit $x$ un réel non nul. On considère la suite géométrique: $$~~w_n = x^n$$ Montrer que $(w_n)$ vérifie la relation de récurrence: $$~~w_{n+2} = w_{n+1} + w_n$$ si et seulement si $~x~$ est solution de l'équation : \[ x^2 - x - 1 = 0 \]
- Résoudre cette équation dans $\mathbb{R}$. On notera $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (le nombre d'or) et $\psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ les deux solutions.
- Vérifier que les suites $(\phi^n)$ et $(\psi^n)$ vérifient la relation de récurrence de Fibonacci, mais qu'aucune des deux ne vérifie les conditions initiales $(u_0, u_1) = (0, 1)$.
- Combinaison linéaire et conclusion:
On cherche maintenant une suite de la forme $u_n = \lambda \phi^n + \mu \psi^n$ qui satisfait les conditions initiales.- En utilisant $u_0 = 0$ et $u_1 = 1$, montrer que le système en $(\lambda, \mu)$ est : \[ \begin{cases} \lambda + \mu = 0 \\ \lambda\phi + \mu\psi = 1 \end{cases} \]
- Montrer que $\phi - \psi = \sqrt{5}$, puis en déduire les valeurs de $\lambda$ et $\mu$.
- Conclure que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : \[ u_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \phi^n - \psi^n \right) \]