Soit $a$ un réel quelconque.

    Partie 1
  1. Montrer que : \[ \lim_{x \to a} \frac{\arctan x - \arctan a}{x - a} = \frac{1}{1 + a^2} \]
    2. Partie 2
    • En dĂ©duire les valeurs des limites suivantes :

    \[ \lim_{x \to 1} \frac{\arctan x - \frac{\pi}{4}}{x - 1} \] \[ \lim_{x \to \sqrt{3}} \frac{\arctan x - \frac{\pi}{3}}{x - \sqrt{3}} \]
    \[ \lim_{x \to -\frac{\sqrt{3}}{3}} \frac{\arctan x + \frac{\pi}{6}}{3x + \sqrt{3}} \] \[ \lim_{x \to -1} \frac{4\arctan x + \pi}{x + 1} \]