Énoncé

Inspiré d'un classique du JEE Main, cet exercice illustre un piège fréquent concernant la définition de la continuité.

Soit la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par: \[ f(x) = E(x) + E(-x) \] , où $ E(x) $ désigne la fonction partie entière de $ x $.

Soit $ m $ un entier relatif ($ m \in \mathbb{Z} $).

1. Déterminer la valeur exacte de $ f(m) $.
2. Analyse des limites en $ m $ :
   1. Calculer la limite de $ f(x) $ lorsque $ x $ tend vers $ m $ par valeurs supérieures ($ x \to m^+ $).
   2. Calculer la limite de $ f(x) $ lorsque $ x $ tend vers $ m $ par valeurs inférieures ($ x \to m^- $).
   3. En déduire si $ \lim_{x \to m} f(x) $ existe et préciser sa valeur.
3. La fonction $ f $ est-elle continue en $ x = m $ ? Justifier rigoureusement.