On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ \begin{cases} f(x) = e^x \sqrt{1-e^x} & \text{si } x \le 0 \\ f(x) = 1 - \frac{\ln x}{x} + \left(\frac{\ln x}{x}\right)^2 & \text{si } x > 0 \end{cases} $$ $\mathscr{C}$ sa courbe dans un repère orthonormé.
  1. Étudier la continuité de $f$ en 0.
  2. Étudier la dérivabilité de $f$ en 0.
  3. Déterminer les branches infinies de la courbe $\mathscr{C}$.
  4. Étudier les variations de la fonction $f$.
  5. Écrire l'équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 1.
  6. Construire la courbe $\mathscr{C}$.
  7. On considère les intégrales : $$I = \int_1^e \frac{\ln x}{x^2} \,dx \, , \quad J = \int_1^e \frac{(\ln x)^2}{x^2} \,dx \, , \quad K = \int_1^e \frac{\ln x}{x} \,dx$$
    1. Calculer $I$ et $K$ puis montrer que : $J = e^{-1} + 2I$
    2. Calculer l'aire du domaine délimité par $\mathscr{C}$ et les droites d'équations $x=1, x=e$ et $y=1$.
  8. Soit $\lambda \in \mathbb{R}^*_-$. On note $V(\lambda)$ le volume engendré par la rotation de la courbe la restriction de $f$ sur $[\lambda, 0]$ autour de l'axe des abscisses (un tour complet).
    1. Calculer $V(\lambda)$ en fonction de $\lambda$.
    2. Calculer $\lim_{\lambda \to -\infty} V(\lambda)$.