On considère les fonctions numériques $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par :

\[ f(x) = e^{2x} \cos x \qquad \qquad g(x)=e^{2x}\sin x \]
  1. Calculer $f'$ et $g'$ en fonction de $f$ et $g$.

  2. En déduire les primitives de $f$ et de $g$ sur $\mathbb{R}$.

    3. Approche par les nombres complexes: (pour les meilleurs étudiants)

    Pour stimuler la réflexion, nous pouvons utiliser l'exponentielle complexe.
    Soit la fonction $ E $ définie sur $ \mathbb{R} $ par :

    \[ E(x) = f(x) + i g(x) = e^{2x} (\cos x + i \sin x ) = e^{(2+i)x} \]
    • Dérivation et système
      En dérivant $ E $ comme une exponentielle classique, on obtient :
      \[ E'(x) = (2+i) e^{(2+i)x} = (2+i) (f(x) + i g(x)) \] En développant et en identifiant les parties réelle et imaginaire, on retrouve immédiatement le système de l'exercice :
      \[ f'(x) + i g'(x) = (2f(x) - g(x)) + i (f(x) + 2g(x)) \]

    • Recherche de primitives
      Une primitive de $ E $ est donnée par :
      \[ \int E(x) \, dx = \frac{1}{2+i} e^{(2+i)x} = \frac{2-i}{5} (f(x) + i g(x)) \] Les primitives de $ f $ et $ g $ correspondent alors respectivement à la partie réelle et à la partie imaginaire du résultat.