1. Soit $f$ la fonction définie sur $I = [1; +\infty[$ par : $$f(t) = \frac{1}{2}\left(\sqrt{t} + \frac{1}{\sqrt{t}}\right)$$ Montrer que $f$ réalise une bijection de $I$ sur $I$ puis définir sa fonction réciproque $f^{-1}$.
  2. Soit $\varphi$ la fonction définie sur $]1; +\infty[$ par : $$\varphi(x) = \int_{\sqrt{2}}^x \frac{du}{\sqrt{u^2-1}}$$ En utilisant une intégration par changement de variable en posant $u = f(t)$, calculer $\varphi(x)$.