EXERCICE 4
Baccalauréat S - Liban, 3 juin 2010
Partie A
Soit \( u \) la fonction définie sur \( ]0; +\infty[ \) par :
\[ u(x) = x^2 - 2 + \ln x \]
  1. Étudier les variations de \( u \) sur \( ]0; +\infty[ \) et prĂ©ciser ses limites en \( 0 \) et en \( +\infty \).
    1. Montrer que l'Ă©quation \( u(x) = 0 \) admet une solution unique sur \( ]0; +\infty[ \). On note \( \alpha \) cette solution.
    2. À l'aide de la calculatrice, dĂ©terminer un encadrement d'amplitude \( 10^{-2} \) de \( \alpha \).
  3. DĂ©terminer le signe de \( u(x) \) suivant les valeurs de \( x \).
  4. Montrer l'égalité : \( \ln \alpha = 2 - \alpha^2 \).
Partie B
On considÚre la fonction \( f \) définie et dérivable sur \( ]0; +\infty[ \) par :
\[ f(x) = x^2 + (2 - \ln x)^2 \]
  1. Exprimer, pour tout \( x \) de \( ]0; +\infty[ \), \( f'(x) \) en fonction de \( u(x) \).
  2. En déduire les variations de \( f \) sur \( ]0; +\infty[ \).
Partie C
Dans le plan rapporté à un repÚre orthonormé \( (O; \vec{i}, \vec{j}) \), on note :
  • \( \Gamma \) la courbe reprĂ©sentative de la fonction \( \ln \) ;
  • \( A \) le point de coordonnĂ©es \( (0; 2) \) ;
  • \( M \) le point de \( \Gamma \) d'abscisse \( x \) appartenant Ă  \( ]0; +\infty[ \).
  1. Montrer que la distance \( AM \) est donnée par \( AM = \sqrt{f(x)} \).
  2. Soit \( g \) la fonction définie sur \( ]0; +\infty[ \) par \( g(x) = \sqrt{f(x)} \).
    1. Montrer que les fonctions \( f \) et \( g \) ont les mĂȘmes variations sur \( ]0; +\infty[ \).
    2. Montrer que la distance \( AM \) est minimale en un point de \( \Gamma \), noté \( P \), dont on précisera les coordonnées en fonction de \( \alpha \).
    3. Montrer que \( AP = \alpha\sqrt{1 + \alpha^2} \).
  3. La droite \( (AP) \) est-elle perpendiculaire Ă  la tangente Ă  \( \Gamma \) en \( P \) ?