Soient $~f,g~$ et $~h~$ 3 fonctions définies par: \begin{align*} f : D_f &\longrightarrow \mathbb{R}\\ x &\longmapsto x^{\frac{1}{x}}\\ \end{align*}
\begin{align*} g: D_g &\longrightarrow \mathbb{R}\\ x &\longmapsto \log x + x-1 +\sqrt{x^2+x}\\ \end{align*}
\begin{align*} h: D_g &\longrightarrow \mathbb{R}\\ x &\longmapsto \log x + x-1 -\sqrt{x^2+x}\\ \end{align*}

Partie A:

1. Déterminer les domaines de définitions respectifs $~D_f,~D_g~$ et $~D_h~$ des 3 fonctions.
2. Calculer $~g'(x) ~$ et $~h'(x)~$, $~g~$ et vérifier que g et h sont des fonctions strictement croissantes
Montrer que les équation $~g(x)=0~$ et $~h(x)=0~$ ont chacune une solution unique on notera $~a,b~$ respectivement les racines de $~g~$ et $~h~$
3. Etudier les branches infinies de $~g~$ et de $~h~$
4. Tracez les courbes représentatives de $~g~$ et $~h~$ en admettant les approximations suivantes : $~a=0,58\qquad b=4,7$

Partie B:

1. Calculer la limite de $f(x)$ en $0^+$
2. Calculer la limite de $f(x)$ en $+\infty$.
3. Vérifier que: $$f'(x)=\dfrac{1-\log(x)}{x^2}~e^{\frac{\log x}{x}}$$
4. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe C_f au point $x=1$ . Que remarquez-vous quand à la position de la tangente vis à vis de $C_f$? Justifiez
5. Vérifier que: $$ f''(x)=\dfrac{(\log x)^2 +2(x-1)\log x-(3x-1)}{x^4}$$
6. Montrer $f''(x)=0 \iff (g(x)=0) \quad \text{ou} \quad (h(x)=0)$
7. Que représentent $(a,f(a))$ et $(b,f(b))$ pour la courbe $C_f$

Application:

Appliquer ce qui précède pour déterminer l'entier natruelle $~n~$ pour lequel $~\sqrt[n]{n}~$ est maximal.