Suites extraites:
  • Démontrer que si une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers une limite $\ell$, alors les suites $(u_{2n})_{n \in \mathbb{N}}$ et $(u_{2n+1})_{n \in \mathbb{N}}$ convergent vers la même limite $~l$.

  • Réciproquement, établir que si les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers une même limite $\ell$, alors la suite $(u_n)$ est convergente et sa limite est $\ell$.

  • Donner un exemple de suite $(u_n)$ telle que $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers des limites distinctes. Que peut-on en conclure pour la suite $(u_n)$ ?

  • Soit $(u_n)$ une suite telle que $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ et $(u_{3n})$ convergent. Démontrer que $(u_n)$ converge.