On considÚre les fonctions $~f~$ et $~g~$ définies au voisinage de $~+\infty~$ par : \[ f(x) = \frac{\ln(1+x)}{\ln x} \quad \text{et} \quad g(x) = x \ln\left(\frac{\ln(1+x)}{\ln x}\right) \] En utilisant le changement de variable $~t = \frac{1}{x}~$:
  1. calculer la limite $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$
  2. On pose $~\varphi(x) = f(x) - 1$. Calculer $\lim\limits_{x \to +\infty} x\varphi(x)$.
  3. En remarquant que $~g(x) = x \ln(1 + \varphi(x))$, en déduire $~\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)$.