La Suite Harmonique:
ÉnoncĂ©
Soit la suite $(H_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie pour tout $n \geq 1$ par : \[ H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n} \]
  1. Montrer que la suite $(H_n)$ est strictement croissante.
    1. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : \[ H_{2n} - H_n \geq \frac{1}{2} \]
    2. En déduire, par un raisonnement par l'absurde, que la suite $(H_n)$ n'est pas convergente.
  3. On considÚre les fonctions $f$ et $g$ définies sur $]0, +\infty[$ par : \begin{align*} f : &\mathbb{R}_+^* \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \ln(1+x) - x\\ \end{align*} \begin{align*} g : &\mathbb{R}_+^* \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \ln(1+x) - \frac{x}{1+x}\\ \end{align*}
    1. Étudier les variations de $f$ et $g$.
    2. En déduire que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ : \[ \frac{1}{k+1} \leq \ln(k+1) - \ln(k) \leq \frac{1}{k} \]
    3. DĂ©terminer alors la limite de la suite $(H_n)$.