On pose : $I = \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \frac{\sin t}{t} \,dt$
    1. On considère la fonction $F$ définie sur $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right]$ par : $$F(x) = \int_{\frac{\pi}{2}}^x \frac{\sin t}{t} \,dt$$ et la fonction $G$ définie sur $\left[0; \frac{1}{2}\right]$ par : $$G(x) = \int_0^x \frac{\sin(\pi t)}{1-t} \,dt$$ Montrer que pour tout $x \in \left[0; \frac{1}{2}\right]$ : $$G(x) = F(\pi) - F(\pi(1-x))$$
    2. En déduire que : $I = \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{\sin(\pi t)}{1-t} \,dt$
  2. Soit $(u_n)$ la suite définie par : $u_n = \int_0^{\frac{1}{2}} t^n \sin(\pi t) \,dt$
    1. Calculer $u_0$ et $u_1$, et montrer que pour tout $n \ge 2$ : $$u_n = \frac{1}{\pi^2} \left[ \frac{n}{2^{n-1}} - n(n-1)u_{n-2} \right]$$
    2. Montrer que : $I = \sum_{k=0}^{n-1} u_k + R_n$ avec : $R_n = \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{t^n \sin(\pi t)}{1-t} \,dt$
    3. Montrer que pour tout $t \in \left[0; \frac{1}{2}\right]$ : $\left| \frac{t^n \sin(\pi t)}{1-t} \right| \le 2t^n$
      puis en déduire que : $(\forall n \ge 2) \quad |R_n| \le \frac{1}{(n+1)2^n}$
    4. Montrer que : $I = \lim_{n \to + \infty} \sum_{k=0}^{n-1} u_k$
    5. Déterminer une valeur approchée de $I$ à $10^{-2}$ près.