Théorème des cordes horizontales:
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Soit $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ une fonction continue telle que $f(0) = f(1)$. Démontrer qu'il existe un réel $c \in \left[0, 1 - \frac{1}{n}\right]$ tel que : \[ f\left(c + \frac{1}{n}\right) = f(c) \]Indication pour la résolution
Pour démontrer ce résultat, on introduit classiquement la fonction auxiliaire $g$ définie sur $\left[0, 1 - \frac{1}{n}\right]$ par : \[ g(x) = f\left(x + \frac{1}{n}\right) - f(x) \]- Calculer la somme $\sum_{k=0}^{n-1} g\left(\frac{k}{n}\right)$.
- Utiliser un raisonnement par l'absurde.