On considère la suite numérique $(u_n)_{n \ge 1}$ définie par : $$u_n = \int_1^e x(\ln x)^n \,dx$$
  1. Montrer que $(u_n)_{n \ge 1}$ est positive et décroissante.
  2. Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) \quad 2u_{n+1} + (n+1)u_n = e^2$
  3. Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) \quad \frac{e^2}{n+3} \le u_n \le \frac{e^2}{n+1}$
    puis en déduire la limite de la suite $(u_n)_{n \ge 1}$.