Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.
  1. DĂ©montrer que $\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$.
  2. En déduire que $\frac{2ab}{a+b} \leq \sqrt{ab}$.
  3. Montrer que ces résultats peuvent s'écrire : $$\dfrac{1}{\left(\dfrac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}{2}\right)}\leq \sqrt{ab}\leq \dfrac{a+b}{2}$$ c'est à dire que la moyenne harmonique M.H , la moyenne géométrique M.G et la moyenne arithmétique MA vérifient: $$MH\leq MG\leq MA$$
  4. Déterminer le domaine de définition de la fonction $f(x) = \ln\left(\frac{2x}{x+1}\right)$ et étudier sa concavité.