1. En utilisant une intĂ©gration par changement de variable, calculer l'intĂ©grale : (poser $t = \text{Arctan } u$) $$I = \int_{\frac{\pi}{3}}^x \frac{2dt}{\sin(2t)(\tan t - 1)} \quad \text{oĂč } x \in \left[\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2}\right[$$
  2. Soit $x \in \left[\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2}\right[$. On considÚre la fonction $v$ définie sur $\left[\frac{\pi}{3}; x\right]$ par : $(\forall t \in \left[\frac{\pi}{3}; x\right]) \quad v(t) = \frac{1}{1-\tan t}$
    1. Calculer $v'(t)$ pour tout $t \in \left[\frac{\pi}{3}; x\right]$.
    2. Calculer l'intégrale : $$J = \int_{\frac{\pi}{3}}^x \frac{1+\tan^2 t}{(1-\tan t)^2} \ln(\tan t) \,dt$$