Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue en $0$ telle que : \[ \forall x \in \mathbb{R}, f(2x) = f(x) \]
  1. Montrer par récurrence que $~(\forall n \in \mathbb{N})~$ et $~(\forall x \in \mathbb{R})$ :
    2. \[ f\left(\frac{x}{2^n}\right)=f(x) \]
  2. En déduire que $f$ est une fonction constante.