Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose : $$A_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-nx} \sin(x) \,dx \quad \text{et} \quad B_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-nx} \cos(x) \,dx$$
  1. Calculer $A_0$ et $B_0$.
  2. En utilisant la formule d'intégration par parties, montrer que : $A_n + nB_n = 1$ et $-nA_n + B_n = e^{-\frac{n\pi}{2}}$
    1. En déduire $A_n$ et $B_n$ en fonction de $n$.
    2. DĂ©terminer $\lim_{n \to +\infty} A_n$ et $\lim_{n \to +\infty} B_n$.