BAC Sciences Mathématiques A et B - Session rattrapage Maroc 2021.

Partie I:

On considère la fonction $ f $ définie sur l'intervalle $ I = ]-\infty, 1[ $ par :

\[ \begin{align*} f : &]-\infty, 1[ \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \ln(1-x)\\ \end{align*} \]

Soit $ (C) $ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $ (O, \vec{i}, \vec{j}) $.

1. Étude de la fonction
  1. Montrer que la fonction $ f $ est continue sur $ I $.
  2. Montrer que la fonction $ f $ est strictement décroissante sur $ I $.
  3. Calculer $\lim_{x \to 1^-} f(x)$, $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x}$.
  4. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
  5. Donner le tableau de variations de $ f $.
2. Convexité et Représentation
  1. Montrer que la courbe $ (C) $ est concave.
  2. Représenter graphiquement la courbe $ (C) $ dans le repère $ (O, \vec{i}, \vec{j}) $.
3. Bijection réciproque
  1. Montrer que $ f $ est une bijection de $ I $ vers $ \mathbb{R} $. On note $ f^{-1} $ sa bijection réciproque.
  2. Déterminer $ f^{-1}(x) $ pour $ x \in \mathbb{R} $.
  3. Vérifier que : $ f^{-1}(-1) = 1 - e^{-1} $.