Soient $a,b>0~$ Soient $~p,q~$ 2 réels strictement positifs conjugués c'est-à-dire : $$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$$

1. Soient $~(x_i:~i=1\cdots,n),~$ des nombres strictement positifs.
   En utilisant la concavité de la fonction logarithme, démontrer que : \[ \ln\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \right) \geq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln(x_i) \]
2. En déduire l'inégalité d'Young: \[ ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} \]
3. En déduire aussi l'inégalité IAG : \[ \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i} \leq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \]
4. Application:
   Montrer que pour tout $x \in ]0, 1[$, $x(1-x) \leq \frac{1}{4}$.