1. Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[a, b]$ telle que $f(a) = f(b)$ et $f'(a) = 0$.
  2. On considère la fonction auxiliaire $g$ définie sur $]a, b]$ par :
    \[ g(x) = \begin{cases}\frac{f(x) - f(a)}{x - a}&\quad \text{si}\quad x\neq a\\\\ 0 &\quad \text{si} \quad x=a\end{cases}\] Montrer que est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b]
  3. En appliquant le théorème de Rolle à la fonction $g$ sur un intervalle approprié, montrer que :
    \[ \exists c \in ]a, b[ \text{ tel que } f'(c) = \frac{f(c) - f(a)}{c - a} \]