On considÚre la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$F(x) = \int_x^{2x} \frac{dt}{\sqrt{1+t^2+t^4}}$$
  1. Montrer que la fonction $F$ est impaire.
    1. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}^*_+$, il existe $c \in [x; 2x]$ tel que :
      $$F(x) = \frac{x}{\sqrt{1+c^2+c^4}}$$
    2. En déduire que : $(\forall x \in \mathbb{R}^*_+) \quad 0 \le F(x) \le \frac{1}{x}$
      puis en déduire $\lim_{x \to +\infty} F(x)$.
  3. Calculer $F'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.