On considère dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : \[ (E) : x^3 + 3x - 4 = 0 \]
  1. Montrer que l'équation $(E)$ admet une solution unique dans $\mathbb{R}$.
  2. On pose : $\alpha = \sqrt[3]{\sqrt{5} + 2} - \sqrt[3]{\sqrt{5} - 2}$.
    Établir que $\alpha$ est une solution de $(E)$, puis en déduire que $\alpha = 1$.