On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ f(x) = \begin{cases} \displaystyle \int_x^{x+1} (1+\ln t) \,dt & \text{si } x > 0 \\ f(0)=0 \\ \frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}} & \text{si } x < 0 \end{cases} $$
  1. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}^*_+$ :
    $f(x) = (1+x)\ln(1+x) - x\ln x$
    1. Montrer que $f$ est continue en 0.
    2. Montrer que $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$ et calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
    1. Étudier la dérivabilité de $f$ en 0 puis donner une interprétation géométrique au résultat.
    2. Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}^*$.
    3. Dresser le tableau de variations de $f$.
  4. On considère la suite numérique $(u_n)_{n \ge 1}$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ par : $u_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n}{(k-2n)^2} e^{\left(\frac{n}{k-2n}\right)}$
    Calculer la limite de la suite $(u_n)_{n \ge 1}$.