On considère les intégrales : $$I = \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x^2+2}} \quad ; \quad J = \int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt{x^2+2}} \,dx \quad ; \quad K = \int_0^1 \sqrt{x^2+2} \,dx$$
  1. Montrer que : $J+2I = K$
  2. Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[0;1]$ par : $f(x) = \ln(x+\sqrt{x^2+2})$
    1. Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in [0;1]$.
    2. En déduire la valeur de l'intégrale $I$.
    1. En utilisant deux fois la formule d'intégration par parties, montrer que : $K = \sqrt{3} - J$
    2. En déduire les valeurs de $J$ et $K$.