I. Étude locale et comportement de la fonction

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x) = x - \ln(1+x^2)$$ On note $\mathcal{C}_f~$ sa courbe représentative.

1. Vérifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que : \[ f'(x) = \frac{(x-1)^2}{1+x^2} \]
2. Sans calcul, déduire de l'expression de $f'(x)$ la valeur de $f''(1)$. Que peut-on en conjecturer pour le point $A(1, f(1))$ ?
3. Calculer $f'''(x)$, puis déterminer sa valeur en $~x=1~$.
4. Calculer $~\lim\limits_{x\to \pm\infty}{\frac{f(x)}{x}}~$ et $~\lim\limits_{x\to \pm\infty}{f(x)-x}$. Que peut-on dire.

II. Étude d'une suite récurrente

On considère la suite $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0 \in \mathbb{R}$ et la relation : $u_{n+1} = f(u_n)$.

1. Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ et construire sa courbe représentaive
2. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) \leq x$. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.
3. En utilisant les variations de $f$, montrer que si $u_0 \geq 0$, alors la suite $(u_n)$ est minorée par $0$.
4. Démontrer que pour tout $~u_0 \in \mathbb{R}~$ choisi, la suite $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.