Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a; b]$.
  1. Justifier que pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$ : $\int_a^b (\lambda f(x) + g(x))^2 \,dx \ge 0$
  2. En déduire que : $\left| \int_a^b f(x)g(x) \,dx \right| \le \sqrt{\int_a^b f^2(x) \,dx} \times \sqrt{\int_a^b g^2(x) \,dx}$
  3. Montrer les inégalités suivantes :
    1. $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \,dx \le \frac{\sqrt{\pi+2}}{\sqrt{4\pi}}$
    2. $\left( \int_0^1 e^{x^2} \,dx \right) \left( \int_0^1 e^{-x^2} \,dx \right) \ge 1$
  4. On suppose maintenant que $f$ est une fonction continue sur $[0; 1]$ telle que : $(\forall x \in [0; 1]) \quad 0 < f(x) < \ln 2$ On pose : $A = \int_0^1 e^{f(x)} \,dx$ et $B = \int_0^1 e^{-f(x)} \,dx$ Montrer que : $1 \le AB < 2$ et $0 \le \frac{A}{B} < 1$