Soit $(u_n)_{n \geq 1}$ la suite numérique définie par : \[ u_n = 1 + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{k^2} + \dots + \frac{1}{n^2} \]
- Étudier la monotonie de la suite $(u_n)_{n \geq 1}$.
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- Vérifier que pour tout entier $k \geq 2$ : \[ \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \quad \text{et que} \quad \frac{1}{k^2} < \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \]
- En déduire que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) \quad 2 - \frac{1}{n} < u_n < 2$
- Montrer que $(u_n)_{n \geq 1}$ est convergente.