Soit la fonction $f$ définie sur $I = ]1, +\infty[$ par : \[ \begin{align*} f : & ]1, +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \frac{3x - 1}{x + 1}\\ \end{align*} \] On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = f(u_n)$.
- Étudier les variations de $f$ sur $I$.
- Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 1$.
- Soit la suite $(v_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par :
\[ v_n = \frac{1}{u_n - 1} \]
- Montrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme.
- Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis en déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
- Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.