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Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle définie par ses deux premiers termes $u_0$ et $u_1$, et par la relation de récurrence : \[ \forall n \in \mathbb{N}, \ u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n \] où $a$ et $b$ sont deux réels fixés ($b \neq 0$). On considère l'équation caractéristique associée $(E) : r^2 - ar - b = 0$ de discriminant $\Delta = a^2 + 4b$.

1. Cas $\Delta > 0$ : Racines réelles distinctes
   On note $r_1$ et $r_2$ les deux racines de $(E)$.
   1. Montrer que pour tous réels $\lambda$ et $\mu$, la suite définie par $u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n$ vérifie la relation de récurrence.
   2. Application :
      Déterminer $u_n$ pour $u_0 = 2$, $u_1 = 5$ et $$u_{n+2} = 5u_{n+1} - 6u_n$$.
2. Cas $\Delta = 0$ : Racine réelle double
   On note $r_0$ la racine double de $(E)$.
   1. Montrer que la suite de terme général $v_n = n r_0^n$ vérifie également la relation de récurrence.
   2. En déduire que le terme général est de la forme $u_n = (\lambda + \mu n)r_0^n$.
3. Cas $\Delta < 0$ : Racines complexes conjuguées L'équation $(E)$ admet deux racines complexes $r_1 = \rho e^{i\theta}$ et $r_2 = \rho e^{-i\theta}$ avec $\rho > 0$ et $\theta \in \mathbb{R}$.
   1. Montrer que toute suite de la forme $u_n = \rho^n (A \cos(n\theta) + B \sin(n\theta))$ avec $(A, B) \in \mathbb{R}^2$ vérifie la relation de récurrence.
   2. Application :
      Déterminer l'expression de la suite définie par $u_0 = 1$, $u_1 = 1$ et $$u_{n+2} = u_{n+1} - u_n$$