On considÚre la fonction $f$ définie par :

\[ \begin{align*} f : &D_f \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)\\ \end{align*} \]
  1. Déterminer le domaine de définition $D_f$ de la fonction $f$.
  2. Montrer que pour tout $x \in D_f$, $|f(x)| \leq x^2$.
  3. En déduire que $f$ admet un prolongement par continuité en $0$. On notera encore $f$ la fonction ainsi prolongée telle que $f(0) = 0$.
  4. Montrer en utilisant la définition de la dérivée que $f$ est dérivable en $0$. Que vaut $f'(0)$ ?
  5. Calculer l'expression de la fonction dérivée $f'(x)$ pour tout $x \neq 0$.
  6. La fonction dérivée $f'$ est-elle continue en $0$ ? Justifier.