1. On pose : $I_p = \int_1^e x(\ln(x)+1)^p \,dx$ où $p \in \mathbb{N}$.
    1. En utilisant une intégration par parties, montrer que : $(\forall p \in \mathbb{N}^*) \quad 2I_p = e^2 2^p - pI_{p-1} - 1$
    2. En déduire que : $I_2 = e^2 + \frac{1}{2}I_0$
  2. Calculer le volume du solide engendré par la rotation de la courbe $\mathscr{C}_f$ de la fonction : $$f: x \mapsto \sqrt{x}(1+\ln x)$$ autour de l'axe des abscisses sur $[1; e]$.