Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ on pose : $I_n = \frac{1}{n! 2^{n+1}} \int_0^1 (1-t)^n e^{\frac{t}{2}} \,dt$
  1. Calculer $I_1$.
  2. Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) \quad I_{n+1} = I_n - \frac{1}{(n+1)! 2^{n+1}}$
  3. En déduire que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) \quad \sqrt{e} = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k! 2^k} + I_n$
    1. Montrer qu'il existe $A \in \mathbb{R}^*_+$ tel que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) \quad 0 \le I_n \le \frac{A}{2^n n!}$
    2. En déduire la valeur de la limite : $\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k! 2^k}$