On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_n = \frac{(-1)^n}{2n+1}$ On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $S_n = u_0 + u_1 + ... + u_n$
  1. Calculer l'intégrale : $\int_0^1 x^{2n} \,dx$
  2. Montrer que : $S_n = \int_0^1 \frac{1+(-1)^n x^{2n+2}}{1+x^2} \,dx$
  3. Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) \quad S_n - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \int_0^1 \frac{x^{2n+2}}{1+x^2} \,dx$
    puis calculer $\lim_{n \to +\infty} S_n$.