Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ la suite définie par : $u_n = \int_1^e x^n \ln(x) \,dx$
  1. En utilisant une intégration par parties, calculer pour tout $r \in \mathbb{Q} \setminus \{-1\}$ et pour tout $\alpha \in \mathbb{R}^*_+$, l'intégrale : $$I_r(\alpha) = \int_1^{\alpha} x^r \ln(x) \,dx$$
  2. Étudier la limite de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$.