Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[1; +\infty[$ par : $f(x) = e^{-\sqrt{x-1}}$ et soit $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ avec : $\|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = 2cm$. On pose : $(\forall x \in ]0; 1]) \quad F(x) = \int_1^{1+(\ln x)^2} f(t) \,dt$
    1. Montrer que : $(\forall x \in ]0; 1]) \quad F'(x) = 2 \ln x$
    2. Calculer $F(x)$ pour tout $x \in ]0; 1]$.
  2. Pour tout $\alpha \ge 1$, on note $S(\alpha)$ l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathscr{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=\alpha$.
    1. Montrer que : $S(\alpha) = F(f(\alpha)) \quad (\text{en unité d'aire})$
    2. Calculer $S(\alpha)$ et $\lim_{\alpha \to +\infty} S(\alpha)$