Soit $~n\in\Bbb N^{\ast}~$, et soit $f_n$, la fonction définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par : \[ f_n(x) = x - n \ln x \]

    1. Calculer les limites : $\lim\limits_{x \to +\infty} f_n(x)$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} f_n(x)$.
    2. Étudier les variations de la fonction $f_n$.
    3. En déduire que pour tout entier $n \ge 3$, l'équation $f_n(x) = 0$ admet exactement deux solutions $u_n$ et $v_n$, et que lon a: $$0 < u_n < n < v_n$$


    1. Montrer que : $$(\forall n \ge 3) :~~ 1 < u_n < e$$
    2. Montrer que : $(\forall n \ge 3) \ f_n(u_{n+1}) = \ln(u_{n+1})$.
    3. Montrer que la suite $(u_n)_{n \ge 3}$ est strictement décroissante et en déduire qu'elle est convergente.
    4. En encadrant $\ln u_n$, déterminer la limite de $(u_n)_{n \ge 3}$.
    5. Montrer que : $\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{\ln u_n}{u_n - 1} = 1$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} n(u_n - 1) = 1$.


    1. DĂ©terminer $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n$.
    2. Calculer $f_n(n \ln n)$ puis en déduire que : $(\forall n \ge 3) \ n \ln(n) < v_n$.
    3. Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R}_+^*) \ x > 2 \ln x$ et en déduire que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) \ n > 2 \ln n$.
    4. DĂ©terminer le signe de $f_n(2n \ln(n))$ puis montrer que : $(\forall n \ge 3) \ n \ln n < v_n < 2n \ln n$.
    5. Montrer que : $\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{v_n}{n \ln n} = 1$.