Soit $n \in \mathbb{N}$. On pose: \begin{align*} \Bbb R^{\ast}&\longrightarrow \Bbb R \\\\ x &\longmapsto x^n e^{1/x} \end{align*} On désigne par f^{n} la dérivée d'ordre n de $f$.
  1. Montrer par récurrence que:
    \[ f^{(n+1)}(x)=\frac{(-1)^{n+1}}{x^{n+2}} e^{1/x} \]