On considère la suite numérique $(I_n)$ définie par : $$I_n = \int_0^1 x^n \sqrt{1-x} \,dx$$
  1. Calculer $I_0$ et $I_1$.
  2. En utilisant le changement $t = \sqrt{1-x}$, montrer que : $$(\forall n \in \mathbb{N}) \quad I_n = 2 \sum_{k=0}^n C_n^k \frac{(-1)^k}{2k+1}$$
    1. Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) \quad (2n+5)I_{n+1} = 2(n+1)I_n$
    2. En déduire par récurrence que : $$(\forall n \in \mathbb{N}) \quad I_n = \frac{2^{2n+2} (n!)^2 (n+1)}{(2n+3)!}$$
    1. Déterminer les réels $a, b$ et $c$ tels que pour tout $x \in [0; 1]$ : $$\frac{2}{x^2-2} = a + \frac{b}{x-\sqrt{2}} + \frac{c}{x+\sqrt{2}}$$
    2. En déduire la valeur de : $\int_0^1 \frac{x^2}{x^2-2} \,dx$
  5. On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$J_n = \int_0^1 x^n \frac{\sqrt{1-x}}{1+x} \,dx \quad \text{et} \quad S_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k I_k$$
    1. En utilisant le changement $t = \sqrt{1-x}$, calculer $J_0$.
    2. Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) \quad 0 \le J_n \le \frac{1}{n+1}$
      et en déduire $\lim_{n \to +\infty} J_n$.
    3. Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) \quad S_n = J_0 - (-1)^{n+1} J_{n+1}$
    4. En déduire la limite de la suite $(S_n)$.