Soit $f$ une fonction non constante et dérivable sur $[0; 1]$ telle que $f(0) = 0$. On considère la fonction $g$ définie sur $[0; 1]$ par : $$g(x) = (1-x) \int_0^x f(t) \,dt$$
  1. Montrer qu'il existe $\alpha \in ]0; 1[$ tel que : $g'(\alpha) = 0$.
  2. En appliquant le théorème de Rolle à la fonction $h$ définie sur $[0; \alpha]$ par : $$h(x) = -\int_0^x f(t) \,dt + (1-x)f(x)$$ Montrer que : $(\exists x_0 \in ]0; 1[) \quad f'(x_0) > 2f(x_0)$