Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\alpha \in \mathbb{R}^*_+$. On pose : $$I_n(\alpha) = \int_0^{\frac{\pi}{2n}} \frac{\cos^\alpha(nt)}{\cos^\alpha(nt) + \sin^\alpha(nt)} \,dt$$ Calculer $I_n(\alpha)$ et vérifier qu'elle est indépendante de $\alpha$.