Énoncé
On considère les suites réelles $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ par:
\begin{cases}u_0 &= 1\\\\ v_0 &= 2\end{cases} et: \begin{cases} u_{n+1} &= 4u_n - 2v_n \\ v_{n+1} &= u_n + v_n \end{cases}
  1. On introduit les suites $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définies pour tout $n \in \mathbb{N}$ par : \[ a_n = u_n - v_n \quad \text{et} \quad b_n = u_n - 2v_n \]
    1. Montrer que $(a_n)$ est une suite géométrique de raison $3$.
    2. Montrer que $(b_n)$ est une suite géométrique de raison $2$.
  2. Exprimer $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$.
  3. En déduire les expressions de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.
  4. Déterminer la limite de la suite: $$w_n= \dfrac{u_n}{v_n}$$