Soient $a$, $b$ et $c$ des réels strictement supérieurs à 1.
  1. Montrer les égalités suivantes :
    1. $\log_{\frac{1}{a}} \left( \frac{1}{b} \right) = \log_a(b)$ ; $\log_{\frac{1}{a}}(b) = \log_a \left( \frac{1}{b} \right)$
    2. $\log_b(a) = \frac{1}{\log_a(b)}$ ; $\log_c(a) = \log_c(b) \cdot \log_b(a)$
    1. Montrer que : \[ \frac{a^4 + b^4}{a + b} \ge (ab)^{\frac{3}{2}} \]
    2. En déduire que : \[ \log_a \left( \frac{b^4 + c^4}{b + c} \right) + \log_b \left( \frac{c^4 + a^4}{c + a} \right) + \log_c \left( \frac{a^4 + b^4}{a + b} \right) \ge 9 \]