Exercice : Étude de l'équation $a^{a^x} = x$

Soit $ a $ un nombre réel tel que $ a > 1 $.
On cherche le nombre de solutions de l'équation suivante :

On rappelle qu'un réel $ \alpha $ est un point fixe d'une fonction $ f $ si :

1. En posant $ h(x) = a^{a^x} $, montrer qu'il existe une fonction $ g $ telle que pour tout réel $ x $ : \[ h(x) = g \circ g(x) \]
2. Dans ce qui suit, on posera $ g(x) = a^x $. Montrer que les points fixes de la fonction $ g $ sont exactement ceux de la fonction $ h $.
3. On pose $ \varphi(x) = g(x) - x $.
   1. Calculer la dérivée $ \varphi'(x) $ et montrer que l'équation $ \varphi'(x) = 0 $ possède une solution unique $ c $ que l'on déterminera en fonction de $ a $.
   2. Dresser le tableau de variations de la fonction $ \varphi $.
   3. Montrer que si $ \varphi(c) = 0 $, alors $ c $ est la solution unique de l'équation $ \varphi(x) = 0 $. Calculer la valeur de $ a $ dans ce cas. Que peut-on dire alors du nombre de solutions de l'équation $ (E) $ ?
   4. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $ a $ pour que $ \varphi(c) > 0 $. Montrer alors que l'équation $ (E) $ n'admet aucune solution dans ce cas.
   5. En utilisant le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, montrer que si $ \varphi(c) < 0 $, alors l'équation $ \varphi(x) = 0 $ admet exactement deux solutions distinctes. Quelle est alors la condition nécessaire et suffisante sur $ a $ ? Conclure sur les solutions de l'équation $ (E) $.