On considère la suite numérique $(u_n)_{n \ge 1}$ définie par : $$u_n = \int_0^1 \sqrt[n]{1-x^n} \,dx$$
  1. Montrer que $(u_n)_{n \ge 1}$ est croissante.
    1. Vérifier que pour tout $x \in [0; 1]$ : $$1-x \le \sqrt[n]{1-x} \le 1-\frac{x}{n}$$
    2. En déduire que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) \quad \frac{n}{n+1} \le u_n \le \frac{2n+1}{2n+2}$
      puis préciser la limite de $(u_n)_{n \ge 1}$.